2012年高考数学最后压轴大题及答案详解
1．（本小题满分12分）设函数f(x)?
1、解：（1）f(x)?'1?x?lnx在[1,??)上是增函数。求正实数a的取值范围； ax1a?ba?b?ln?. 设b?0,a?1，求证：
a?bbbax?1?0对x?[1,??)恒成立， ax2?a?
又
1对x?[1,??)恒成立 x
1?1 ?a?1为所求。 xa?ba?b?1， （2）取x?，?a?1,b?0,?bb1?x?lnx在[1,??)上是增函数， 一方面，由（1）知f(x)?axa?b?f()?f(1)?0
ba?b1?b?lna?b?0 ?a?bba?ba?b1?即ln ba?b另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)
G'(x)?1?
1x?1??0(?x?1) xx∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0
a?ba?b?ln bb1a?ba?b?ln?. 综上所述，
a?bbb∴x?lnx 即
1
2．已知椭圆C的一个顶点为A(0,?1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x?y?1?0
的距离为2 （1）求椭圆C的方程；
???????? （2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设FA??FB,T(2,0)，若
??[?2,?1],求|TA?TB|的取值范围。
2．解：（1）由题意得：|c?1|2?2 ?c?1…………………1分
由题意b?1,?a?2
2
所以椭圆方程为x2?y2?1………………………3分 （2）容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为 x?ky?1，
x2代入2?y2?1中，得(k2?2)y2?2ky?1?0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则ykk2?2 y11?y2??21y2??k2?2. ????…………………5分 ∵FA??FB， ∴有y1??，且??0. y2(y1?y2)2yy??4k214k2?22?????2??k212k??2 ??[?2,?1]??5???12???2??12???1??2?0??12??4k2k?20?k2?27?0?k2?22?7. ????7分
∵TA?(x1?2,y1),TB?(x2?2,y2),?TA?TB?(x1?x2?4,y1?y2).
又y2k1?y2??k2?2,?x4(k2?1)1?x2?4?k(y1?y2)?2??k2?2. 故|TA?TB|2?(x1?x2?4)2?(y1?y22)
2
由
16(k2?1)24k216(k2?2)2?28(k2?2)?8 ??2?(k2?2)2(k?2)2(k2?2)2?16?令t?288……………………………………………………8分 ?k2?2(k2?2)212711712.?0?k???t?[,]. ∴，即
716k2?22162k2?2721722. ∴|TA?TB|?f(t)?8t?28t?16?8(t?)?4271169] 而 t?[,]， ∴f(t)?[4,16232∴|TA?TB|?[2,132].………………………………………………………10分 83．已知函数f(x)?x2?ax?lnx， a?R.
（1）若函数f(x)在?1,2?上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g(x)?f(x)?x2，是否存在实数a，当x?(0,e]（e是自然常数）时，函数g(x)的最小值
是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x?(0,e]时，证明： ex?'225x?(x?1)lnx 212x2?ax?1?0在?1,2?上恒成立， 3．解：（1）f(x)?2x?a??xx?a??1h(1)?0??令 h(x)?2x2?ax?1，有? 得?7,……………………… 4分
h(2)?0a?????2得a??
7 …………………………………………………………………………… 5分 2 （2）假设存在实数a，使g(x)?ax?lnx（x?(0,e]）有最小值3，
1ax?1? ……………………………………………6分 xx4
当a?0时，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)min?g(e)?ae?1?3，a?（舍去），
e
111②当0??e时，g(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增
aaa1?g(x)min?g()?1?lna?3，a?e2，满足条件.
a14
③当?e时，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)min?g(e)?ae?1?3，a?（舍去），
aeg'(x)?a?
3
综上，存在实数a?e，使得当x?(0,e]时g(x)有最小值3. ……………………10分 （3）令F(x)?e2x?lnx，由（2）知，F(x)min?3.令?(x)?当0?x?e时，?'(x)?0，h(x)在(0,e]上单调递增 ∴?(x)max??(e)?2lnx51?lnx?，?'(x)?， x2x21515????3 e2225lnx5?e2x?lnx??, 即e2x2?x?(x?1)lnx.………14分
x22
4．设函数f(x)?x3?ax2?a2x?m (a?0)
（1）若a?1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求m的范围； （2）若函数f(x)在??1,1?内没有极值点，求a的范围；
（3）若对任意的a??3,6?，不等式f(x)?1在x???2,2?上恒成立，求实数m的取值范围．
4.解：（1）当a?1时f(x)?x3?x2?x?m，
因为f(x)有三个互不相同的零点，所以f(x)?x3?x2?x?m?0， 即m??x?x?x有三个互不相同的实数根。
令g(x)??x3?x2?x，则g'(x)??3x2?2x?1??(3x?1)(x?1)。 因为g(x)在(??,?1)和(1均为减函数，在??1,1为增函数， 3,??)3?5m的取值范围??1,27?
32 （2）由题可知，方程f'(x)?3x2?2ax?a2?0在??1,1?上没有实数根，
?f'(1)?3?2a?a2?0?'2因为?f(?1)?3?2a?a?0，所以a?3
?a?0?'22（3）∵f(x)?3x?2ax?a?3(x?a，且a?0， 3)(x?a)∴函数f(x)的递减区间为(?a,a，递增区间为(??,?a)和(a； 3)3,??)当a??3,6?时，a3??1,2?,?a??3,又x???2,2?，
∴f(x)max?max?f(?2),f(2)?而f(2)?f(?2)?16?4a?0
2
4
∴f(x)max?f(?2)??8?4a?2a2?m， 又∵f(x)?1在x???2,2?上恒成立，
∴f(x)max?1，即?8?4a?2a?m?1，即m?9?4a?2a在a??3,6?恒成立。
22
∵9?4a?2a的最小值为?87 ∴m??87 6．（本题满分14分）
2x2y22已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线l:y?x?22与以原点为圆心、ab2以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切。
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小
值．
2c2a2?b212226．解：（Ⅰ）?e? ,?e?2??,?a?2b22aa222?直线l:x?y?2?0与圆x2?y2?b2相切 ??b,?b?2,b2?4,?a2?8,
2x2y2??1. ∴椭圆C1的方程是 ????3分 84 （Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线l1:x??2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离， ∴动点
M的轨迹C是以l1为准线，F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为y2?8x ????6分
（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
A(x1,y1),C(x2,y2)，则直线AC的方程为y?k(x?2).
x2y2??1及y?k(x?2)得(1?2k2)x2?8k2x?8k2?8?0. 联立848k28k2?8,x1x2?. 所以x1?x2?221?2k1?2k32(k2?1)2222…．9分 |AC|?(1?k)(x1?x2)?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?1?2k21132(1?k2)由于直线BD的斜率为?,用?代换上式中的k可得|BD|?
kkk2?2∵AC?BD，
116(1?k2)2∴四边形ABCD的面积为S?|AC|?|BD|?2……．．12分 22(k?2)(1?2k)(1?2k2)?(k2?2)23(k2?1)222]?[] 由(1?2k)(k?2)?[22
5
2012年高考数学压轴大题及答案详解 - 图文
