2019—2020学年新人教A版必修一 函数的单调性与最值 学案
函数单调性的常用结论
1．若f(x），g（x）均为区间A上的增（减)函数，则f(x)＋g（x）也是区间A上的增（减）函数。
2．若k〉0，则kf(x)与f(x）单调性相同；若k<0，则kf(x）与f(x）单调性相反。 3．函数y＝f（x）（f(x）>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x），y＝错误!的单调性相反。
4．函数y＝f(x)(f(x）≥0)在公共定义域内与y＝f?x?的单调性相同。
一、走进教材
1．（必修1P39A组T1改编）函数y＝x－5x－6在区间［2，4]上是（ ） A．递减函数B．递增函数
C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数
解析 作出函数y＝x－5x－6的图象（图略）知开口向上，且对称轴为x＝错误!，在[2,4]上先减后增。故选C。
答案 C
2．(必修1P31例4改编)函数y＝错误!在［2，3］上的最小值为( ) A．2 B．错误! 1
C．D．－错误! 3
解析 因为y＝错误!在[2，3]上单调递减，所以ymin＝错误!＝错误!。故选B。 答案 B 二、走近高考
3．（2017·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（－∞,＋∞)上单调递减,且为奇函数。若f(1）＝－1，则满足－1≤f(x－2）≤1的x的取值范围是（ )
A．［－2,2］ B．[－1，1] C．[0,4］ D．[1，3］
解析 因为f(1）＝－1,且f(x)为奇函数，所以f(－1）＝－f(1）＝1，因为－1≤f(x－2)≤1，所以f(1）≤f(x－2）≤f（－1)，又f(x）在(－∞，＋∞）上单调递减，所以－1≤x－2≤1,解得1≤x≤3。故选D.
答案 D
4．（2018·北京高考）能说明“若f(x)>f（0）对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在［0，2]上是增函数\为假命题的一个函数是________.
解析 这是一道开放性试题，答案不唯一。只要满足f（x)〉f（0)对任意的x∈（0，2]都成立，且函数f（x)在［0,2］上不是增函数即可.如f(x)＝sinx,答案不唯一。
答案 f（x)＝sinx（答案不唯一） 三、走出误区
微提醒：①单调性判断出错致误；②对称轴讨论出错致误;③不会结合函数的图象致误.
2
2
1
5．函数f(x)＝－x＋在错误!上的最大值是( ）
xA．错误!B．－错误! C．－2 D．2
解析 易知f（x）在错误!上是减函数，所以f（x)max＝f（－2）＝2－错误!＝错误!。故选A。
答案 A
6．如果二次函数f（x）＝3x＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1）上是减函数，那么a的取值范围是________。
解析 二次函数的对称轴方程为x＝－错误!,由题意知－错误!≥1，即a≤－2。 答案 （－∞，－2]
7．若函数f(x)＝|2x＋a｜的单调递增区间是[3,＋∞），则a的值为________。 解析 由图象(图略)易知函数f(x）＝|2x＋a|的单调递增区间是错误!，令－错误!＝3，得a＝－6。
答案 －6
考点一确定函数的单调性(区间）
【例1】 （1）（2019·山西晋城一模)已知函数f（x)＝loga(－x－2x＋3）(a>0且a≠1）,若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．［－1,1） D．(－3，－1]
（2)试讨论函数f（x)＝错误!（a≠0）在(－1,1)上的单调性.
(1）解析 令g(x)＝－x－2x＋3,由题意知g(x）>0，可得－3 答案 C （2)解 设－1 2 2 2 f（x）＝a错误!＝a错误!， f（x1）－f（x2)＝a错误!－a错误!＝错误!，由于－1 所以x2－x1〉0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a〉0时,f(x1)－f（x2）〉0，即f(x1)>f（x2)，函数f（x)在（－1,1）上单调递减； 当a〈0时，f(x1)－f(x2）<0， 即f（x1） 解：f′(x）＝错误! ＝错误!＝－错误!。 当a>0时，f′（x)〈0，函数f（x)在（－1,1）上单调递减; 当a<0时，f′(x)>0,函数f(x)在（－1，1)上单调递增. 1．求函数的单调区间，应先求定义域,在定义域内求单调区间，如例1(1）。 2．(1）函数单调性的判断方法有:①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. （2)函数y＝f（g(x))的单调性应根据外层函数y＝f（t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 【变式训练】 (1)(2019·辽宁师大附中模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1)上单调递减的是（ ） A．y＝x错误!B．y＝e C．y＝错误! ｜x| xD．y＝ln｜x｜ 2 （2)判断并证明函数f(x)＝ax＋错误!（其中1 答案 C （2)解 设1≤x1〈x2≤2，则f（x2)－f（x1）＝ax2＋错误!－ax错误!－错误!＝（x2－ 2 |x| xx1）错误!， 由1≤x1 从而f(x2）－f(x1）〉0，即f（x2）>f（x1）， 故当a∈（1，3)时，f（x）在[1，2］上单调递增。 考点二函数的最值 【例2】 （1）函数f(x）＝错误!－log2(x＋2）在区间[－1,1］上的最大值为________. （2）已知函数f（x）＝错误!则f（x)的最小值是________. 解析 （1）由于y＝错误!在R上单调递减，y＝log2（x＋2）在[－1,1］上单调递增，所以f(x）在［－1，1]上单调递减，故f（x）在[－1,1]上的最大值为f（－1)＝3。 (2)当x≤1时，f（x)min＝0，当x〉1时，f（x）min＝2错误!－6，当且仅当x＝错误!时取到最小值，又2错误!－6<0，所以f(x）min＝2错误!－6。 答案 （1）3 （2）2错误!－6 求函数最值的五种常用方法及其思路 1．单调性法：先确定函数的单调性,再由单调性求最值. 2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值。 3．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 xx等式求出最值。 4．导数法：先求导,然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 5．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值。 【变式训练】 (1)函数f(x）＝错误!（x≥2)的最大值为________。 （2）(2019·石家庄模拟）对于任意实数a，b，定义min{a,b｝＝错误!设函数f(x)＝－x＋3，g（x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x）｝的最大值是______。 解析 （1）易得f（x）＝错误!＝1＋错误!，当x≥2时,x－1>0，易知f(x）在[2,＋∞）上是减函数，所以f（x)max＝f（2）＝1＋错误!＝2。 （2)在同一坐标系中,作函数f(x），g（x)图象，依题意，h（x)的图象如图所示。易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h（x）的最大值为h（2)＝1. 解析:依题意，h（x)＝错误!当0〈x≤2时,h（x)＝log2x是增函数，当x〉2时，h（x)＝3－x是减函数，所以h(x）在x＝2时取得最大值h（2)＝1。 答案 （1）2 （2）1 考点三函数单调性的应用微点小专题 方向1：比较大小 【例3】 已知函数f(x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2〉x1>1时,［f（x2)－f(x1)］·(x2－x1）〈0恒成立，设a＝f错误!，b＝f(2），c＝f(3)，则a,b，c的大小关系为（ ） A．c〉a>bB．c〉b>a C．a〉c>bD．b〉a〉c 解析 由于函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，所以a＝f错误!＝f错误!。当x2〉x1〉1时,［f（x2）－f（x1）]（x2－x1）〈0恒成立,等价于函数f（x)在（1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c。故选D. 答案 D 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一单调区间内，然后利用单调性解决。 方向2：解不等式 【例4】 已知奇函数f（x)在x〉0时单调递增，且f（1）＝0，若f（x－1）〉0，则 x的取值范围为（ ) A．｛x｜0 解析 因为奇函数f(x）在（0,＋∞)上单调递增，且f(1）＝0，所以函数f(x)在（－∞,0）上单调递增，且f(－1）＝0，则－1〈x〈0或x>1时，f（x）>0；x〈－1或0 答案 A 利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域. 方向3：求参数范围 【例5】 （2019·江西南昌一模)设函数f(x）＝错误!若f(1)是f（x）的最小值,则实数a的取值范围为( ） A．[－1,2) B．[－1，0] C．［1，2] D．[1,＋∞) 解析 函数f（x）＝错误!若x〉1，则f(x)＝x＋1>2，易知y＝2若a≥1,则要使f（x）在x＝1处取得最小值，只需2上可得a的取值范围是[1,2］。故选C。 答案 C 1．根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的不等式(组)，即可求出参数的值或范围. 2．若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的。 【题点对应练】 a－1 ｜x－a| 在（a，＋∞)上 单调递增,在(－∞，a)上单调递减,若a〈1,则f（x）在x＝a处取得最小值，不符合题意； ≤2，解得a≤2,所以1≤a≤2。综
【新教材】-新人教A版必修一 函数的单调性与最值 学案
