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2021-2022年高中数学竞赛辅导资料《二次函数》(1)
二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。
学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。
一、“四个二次型”概述
（一元）二次函数
→
y=ax2+bx+c (a≠0) ↑
（一元）一次函数 a=0 →
y=bx+c(b≠0) ↑
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↑
a=0
→
↑
一次二项式 bx+c(b≠0) ↓ ↓ 一元一次方程 bx+c=0(b≠0) ↓ ↓ ↓
（一元）二次三项式
→ 2
ax+bx+c(a≠0)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
a=0
→
一元二次方程 → 2ax+bx+c=0(a≠0) ↓
一元二次不等式 2
ax+bx+c>0或 2
ax+bx+c<0(a≠0)
↓
一元一次不等式 → a=0 →
bx+c>0或 bx+c<0(b≠0) 观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生
出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。
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其中二次三项式ax+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。
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而二次函数y=ax+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X
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的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax+bx+c(a≠0)；若y=0，
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即ax+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax+bx+c>0
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或ax+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。 二、二次函数的解析式
上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。
y=ax+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、c的取值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。
二次函数有四种待定形式：
过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为
f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得
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f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)， f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)， f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)
解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2)
从而得二次函数的三点式为：
f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/
(x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2)
根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。
例题讲解
元素与集合的关系
1. 集合={}，={}，，求实数的取值集合．
2. 考察所有可能的这样抛物线，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的
抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定点．
3. 抛物线的顶点位于区域G?{(x,y)|0?x?1.0?y?1}内部或边界上，求、的取值范
围．
4. 设=时，二次函数有最大值5，二次函数的最小值为－2，且＞0， +=,=25．求的解析式
和值．
5. 已知0≤≤1, =,的最小值为．
（1） 用表示；（2）求的最大值及此时的值．
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