实验五 线性卷积与循环卷积的计算
一 实验目的
（1） 进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；
（2） 通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力； （3） 掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。
二 实验原理与方法
1、线性卷积
线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，输出序列为y(n)，则系统输出为：
y(n)???m????x(m)h(n?m)?x(n)*h(n)
?
y(n)?或
m????h(m)x(n?m)?h(n)*x(n)上式称为离散卷积或线性卷积。
图1示出线性时不变系统的输入、输出关系。
y(n)??(n)→ L. T. I —→h(n) —→ L. T. I —→
h(n) 图1 线性时不变系统的输入、输出关系
x(n) m????x(m)h(n?m)??
2、循环卷积
设两个有限长序列x1(n)和x2(n)，均为N点长
x1(n) D F T X(k)
1x2(n) X2(k)
如果X3(k)?X1(k)?X2(k)
D F T ?N?1~?x3(n)???x1(m)~x2(n?m)?RN(n)?m?0?则
??x1(m)x2?(n?m)N?m?0N?1
?x1(n)○Nx2(n)上式称为循环卷积或圆周卷积
0?n?N?1
x1(n)RN(n)为~x1(n)为x1(n)序列的周期化序列；~x1(n)的主值序列。 注：~上机编程计算时，x3(n)可表示如下：
x3(n)??x1(m)x2(n?m)?m?0nm?n?1?x(m)x1N?12(N?n?m)
3、两个有限长序列的线性卷积
序列x1(n)为L点长，序列x2(n)为P点长，x3(n)为这两个序列的线性卷积，则x3(n)为
x3(n)?m????x(m)x1??2(n?m)
且线性卷积x3(n)的最大长L?P?1，也就是说当n??1和n?L?P?1时
x3(n)?0。
4、循环卷积与线性卷积的关系
序列x1(n)为L点长，序列x2(n)为P点长，若序列x1(n)和x2(n)进行N点的循环卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于循环卷积的长度：
当N?L?P?1时循环（圆周）卷积等于线性卷积，即
x1(n)○Nx2(n)?x1(n)*x2(n)
当N?L?P?1时，循环卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时间混叠，即
?????x3(n?rN)x3N(n)??r????0?0?n?N?1其它n
三 实验任务
对于无限长序列不能用MATLAB直接计算线性卷积，在MATLAB内部只提供了一个
conv函数计算两个有限长序列的线性卷积。对于循环卷积MATLAB内部没有提供现成的函数，我们可以按照定义式直接编程计算。
（1）已知两序列：
?0.8nx(n)???0?1h(n)???00?n?11其它0?n?5其它试求它们的线性卷积yl(n)=h(n)*x(n)和N点的圆周卷积，画出序列图，并研究两者之间的关系。
实验五线性卷积与循环卷积的计算
