不动点理论()

3.4 不动点理论

3.4.1 不动点定理

定义3.4.1 设(X,?)是度量空间，A:X?X是一个映射。若存在数?,0???1，使对任意x,y?X，有

?(Ax,Ay)???(x,y) (3.4.1)

则称A是X上的一个压缩映射 (Contraction Mapping).

若X是线性空间，则称A是X上的一个压缩算子(Contraction Operator).

【注】 为简明起见，这里用Ax记A(x).

由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的?(0???1)倍。

定理3.4.1 压缩映射是连续映射。

证 证明压缩映射A是连续映射，即证明：对任意收敛点列xn?x0(n??)，必有

Axn?Ax0(n??).

因为点列xn?x0(n??)，即：?(xn,x0)?0(n??), 又因为A是压缩映射，即存在数?,0???1，使得

?(Axn,Ax0)???(xn,x0),

所以

?(Axn,Ax0)?0(n??),

即：

Axn?Ax0证毕！

(n??).

定义3.4.2 设X是一集，A:X?X是一个映射。若x?X，使得

*Ax*?x*, (3.4.2)

则称x*为映射A的一个不动点(Fixed Point).

设A:X?X是一个映射，即：A:xAx(x?X)，定义： k个A2:x

AAx， A3:xAAA,x,kA:x x k?1,2,3,. A，A定理3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(X,?)是完备的度量空间，

A:X?X是一个压缩映射，则X中必有A的唯一不动点。文档来自于网络搜索 1 / 7

证 先证明映射A在X中存在不动点。

在X中任取一点x0，从x0开始，令

x1?Ax0,x2?Ax1?A2x0,,,xn?Axn?1??Anx0,n?1,2,，

这样得到X中的一个列点{xn}. 往证{xn}是基本点列。

因为A是压缩映射，所以存在数?,0???1，使得

?(xn?1,xn)??(Axn,Axn?1)???(xn,xn?1)(n?1). (3.4.3)

反复应用上式，由归纳法得

?(xn?1,xn)??n?(x1,x0)(n?1). (3.4.4)

于是，对任意正整数p，由(3.4.3)及三点不等式得

?(xn?p,xn)??(xn?p,xn?p?1)??(xn?p?1,xn?p?2)??(?n?p?1??n?p?2???n)?(x1,x0)

??(xn?1,xn)

?n??n?p?n??(x1,x0)??(x1,x0)?0(n??), (3.4.5)

1??1??即{xn}是基本点列。

因为X是完备空间，所以{xn}在X中存在唯一的极限x，使得

*xn?x*又因为压缩映射A是连续的，所以有

(n??). (n??). (n??)，

**Axn?Ax*而

Axn?xn?1?x**且收敛点列{Axn}的极限是唯一的，故Ax?x，即x就是映射A在X中的不动点。

再证明不动点是唯一的。

若x?也是映射A在X中的不动点，即Ax??x?，则必有

?(x*,x?)??(Ax*,Ax?)???(x*,x?)，

*而0???1，因此要使上式成立，必须?(x,x?)?0，即x?x?. 证毕！

*

【注1】 定理3.4.4又称为压缩映射原理 (contraction mapping theorem or contraction

mapping principle) 或文档来自于网络搜索 Banach不动点定理 (Banach fixed point theorem).

【注2】 空间X的完备性条件，只是为了保证映射A的不动点存在；至于不动点的唯一性

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是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的。文档来自于网络搜索 【注3】 定理3.4.2解决了三个问题：

(a) 证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性;

(b) 提供了求不动点的方法——迭代法，即：在完备度量空间中，从任取的“初值”x0出发，逐次作点列

xn?Anx0， n?1,2,3,(c) 在(3.4.5)中令p??，得

,

它必收敛到方程Ax?x的解。这种方法称为逐次逼近法。

?n?(x,xn)??(x1,x0),n?1,2,1??*. (3.4.6)

上式不仅给出了“近似解”xn与所求精确解x*的逼近程度（这个估计式在近似计算中很有用），而且还指出了方程Ax?x的解x*可能的范围（又称为事先估计）；例如当n?0，由(3.4.6)知：文档来自于网络搜索 ?(x*,x0)?

1?(x1,x0). 1??【注4】 定理3.4.2中的空间X的完备性条件不能去掉。

例如：考察R1的子空间X?(0,?)到它自身的映射

Ax??x(x?X,0???1),

映射A显然是压缩映射，但是A在X?(0,?)中没有不动点。

若不然，设x*?X是A在X?(0,?)中的不动点，则

Ax*?x*,

即

?x*?x*, (??1)x*?0, x*?0.

即x?X?(0,?)，矛盾！

【注5】 定理3.4.2中的条件0???1不能减轻为0???1.

因为这样，即使X是完备的度量空间，而且对任意x,y?X，当x?y时，有

*?(Ax,Ay)?1??(x,y),

映射A在X中也可能没有不动点。

例如：R1的闭子空间X?[1,?)到它自身的映射

Ax?x?有

1x(x?X),

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