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2016年四川省阿坝州中考数学试卷(含解析版)

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是得到BG=AE;(2)①如图②,先判断△DEG为等腰直角三角形得到

∠1=∠2=45°,再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°,则可得∠BGE=90°,所以BG⊥GE;

②设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,利用等腰直角三角形的性质得DG= √2 GE= 7√2

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2

x,由(1)的结论得BG=AE=4x,则根据勾股定理得AB=5x,接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°,BD= √2 AB= 5√2 x,然后证明△DBM∽△DGB,则利用

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相似比可计算出DM= 25√2 x,所以GM= 12√2 x,于是可计算出 MD 的值.

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GM

28.(2016?阿坝州)如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0,﹣3).

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由.

(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合),使得以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)解:∵抛物线y=a(x+1)2﹣4与y轴相交于点C(0,﹣3). ∴﹣3=a﹣4, ∴a=1,

∴抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3 (2)解:△BCM是直角三角形

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理由:由(1)有,抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4, ∵顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4, ∴M(﹣1,﹣4),

由(1)抛物线解析式为y=x2+2x﹣3, 令y=0, ∴x2+2x﹣3=0, ∴x1=﹣3,x2=1,

∴A(1,0),B(﹣3,0),

∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+16=20, ∴BC2+CM2=BM2 , ∴△BCM是直角三角形

(3)解:存在,N(﹣1+ √22 , 2 )或N(﹣1﹣ √22 , 2 ),

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∵以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等,且点M是抛物线的顶点,

∴①点N在x轴上方的抛物线上, 如图,

由(2)有△BCM是直角三角形,BC2=18,CM2=2, ∴BC=3 √2 ,CM= √2 ,

∴S△BCM= 2 BC×CM= 2 ×3 √2 × √2 =3, 设N(m,n),

∵以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等, ∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC , ∴S△ABN=S△BCM=3,

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∵A(1,0),B(﹣3,0), ∴AB=4,

∴S1

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△ABN= 2 ×AB×n= 2 ×4×n=2n=3, ∴n= 3

2 ,

∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上, ∴m2+2m﹣3= 3

2 ,

∴m221=﹣1+ √2

,m2=﹣1﹣ √222

∴N(﹣1+ √22 , 33

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2 )或N(﹣1﹣ √222

, 2 ).

②如图2,

②点N在x轴下方的抛物线上, ∵点C在对称轴的右侧,

∴点N在对称轴右侧不存在,只有在对称轴的左侧,过点M作MN∥BC,交抛物线于点N, ∵B(﹣3,0),C(0,﹣3), ∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3, 设MN的解析式为y=﹣x+b

∵抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4①, ∴M(﹣1,﹣4),

∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②, 联立①②得 {

??1=?1??=???1=?4 (舍), {22??2=?3 ,

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∴N(﹣2,﹣3),

即:N(﹣1+ √22 , 2 )或N(﹣1﹣ √22 , 2 )或N(﹣2,﹣3)

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【考点】二次函数的性质,二次函数的应用,与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标,用勾股定理的逆定理即可;(3)根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上,由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM , 然后求出三角形BCM的面积,再建立关于点N的坐标的方程求解即可.

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2016年四川省阿坝州中考数学试卷(含解析版)

是得到BG=AE;(2)①如图②,先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°,再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°,则可得∠BGE=90°,所以BG⊥GE;②设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,利用等腰直角三角形的性质得DG=√2GE=7√222x,由(1)的结论得BG=A
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