3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
知识点一 两角和与差的正切公式
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式? 答案 tan(α+β)=sin?α+β?cos?α+β?=sin αcos β+cos αsin βcos αcos β-sin αsin β,
分子分母同除以cos αcos β,便可得到.
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式? 答案 用-β替换tan(α+β)中的β即可得到. 梳理
名称 简记符号 公式 使用条件 α,β,α+β均tan(α+β)=两角和的正切 T(α+β) tan α+tan β不等于kπ+π1-tan α 2tan β(k∈Z) α,β,α-β均tan(α-β)=两角差的正切 T(α-β) tan α-tan β不等于kπ+π21+tan αtanβ (k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β). tan αtan β=1-tan α+tan βtan?α+β?. (2)T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β).
1
tan αtan β=tan α-tan βtan?α-β?
-1.
类型一 正切公式的正用
例1 (1)已知tan α=-2,tan(α+β)=1
7,则tan β的值为 .
答案 3
解析 tan β=tan[(α+β)-α] =
tan?α+β?-tan α1+tan?α+β?tan α 1
-?-2?=7=3.
1+1
7
×?-2?(2)已知α,β均为锐角,tan α=11
2,tan β=3,则α+β= .
答案
π
4
解析 因为tan α=11
2,tan β=3
,
11
所以tan(α+β)=tan α+tan β2+31-tan αtan β==1.
1-11
2×3因为α,β均为锐角, 所以α+β∈(0,π), 所以α+β=π
4
. 反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T(α+β)求角的步骤: ①计算待求角的正切值.
②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.
跟踪训练1 已知θ是第四象限角,且sin??π?θ+4??3?=?π?5,则tan??θ-4??= . 答案 -4
3
2
π?4π?3π?ππ?????解析 由题意,得cos?θ+?=,∴tan?θ+?=.∴tan?θ-?=tan?θ+-?=4?54?44?42?????-
1π??tan?θ+?4??
4
=-. 3
类型二 正切公式的逆用
1+tan 15°
例2 (1)= ;
1-tan 15°1-3tan 75°(2)= .
3+tan 75°答案 (1)3 (2)-1
tan 45°+tan 15°
解析 (1)原式==tan(45°+15°)
1-tan 45°tan 15°=tan 60°=3.
3
-tan 75°3
3
tan 75°3
(2)原式=
1+
tan 30°-tan 75°= 1+tan 30°tan 75°
=tan(30°-75°)=-tan 45°=-1.
反思与感悟 注意正切公式的结构特征,遇到两角正切的和与差,构造成与公式一致的形式,1
当式子出现,1,3这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的提示.
2跟踪训练2 求下列各式的值:
cos 75°-sin 75°1-tan 27°tan 33°(1); (2). cos 75°+sin 75°tan 27°+tan 33°1-tan 75°tan 45°-tan 75°解 (1)原式== 1+tan 75°1+tan 45°tan 75°=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan 30°=-113
(2)原式===.
tan?27°+33°?tan 60°3类型三 正切公式的变形使用
例3 (1)化简:tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°;
(2)若锐角α,β满足(1+3tan α)(1+3tan β)=4,求α+β的值. 解 (1)方法一 tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°
3. 3
3
=tan(23°+37°)(1-tan 23°tan 37°)+3tan 23°tan 37° =tan 60°(1-tan 23°tan 37°)+3tan 23°tan 37°=3. tan 23°+tan 37°
方法二 ∵tan(23°+37°)=,
1-tan 23°tan 37°tan 23°+tan 37°
∴3=,
1-tan 23°tan 37°
∴3-3tan 23°tan 37°=tan 23°+tan 37°, ∴tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°=3. (2)∵(1+3tan α)(1+3tan β)
=1+3(tan α+tan β)+3tan αtan β=4, ∴tan α+tan β=3(1-tan αtan β), tan α+tan β∴tan(α+β)==3.
1-tan αtan β又∵α,β均为锐角,∴0°<α+β<180°, ∴α+β=60°.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式:
tan α±tan β①tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β=.tan?α±β?当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.
π
跟踪训练3 在△ABC中,A+B≠,且tan A+tan B+3=3tan Atan B,则角C的值为
2( )
π2πππA. B. C. D. 3364答案 A
解析 ∵tan A+tan B+3=3tan Atan B?tan(A+B)·(1-tan Atan B)=3(tan Atan
B-1).①
若1-tan Atan B=0,
则cos Acos B-sin Asin B=0,即cos(A+B)=0. π
高中数学人教A版第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二导学案新必修4_141



