4.3.2 空间两点间的距离公式
【学习目标】
1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题
3.通过探究空间两点间的距离公式,意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法, 【学习重点】
空间两点间的距离公式. 【知识链接】
距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离, 如一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.
【基础知识】
.空间中两点间的距离公式 1.(x1?x2)?(y1?y2) 2.P1P2?22(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2
22①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2?x1)?(y2?y1),它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.
图1
②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD
222222222222
是直角三角形,所以BO=BD+OD,AO=AB+BO=AB+BD+OD=z+x+y,因此A到原点的距离是d=
x2?y2?z2.
【例题讲解】
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图2
例1.如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=(x2?x1)?(y2?y1).
再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=
22|P=1H|?|HP2|22(x2?x1)2?(y2?y1)2,根据勾股定理,得|P1P2|=
(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2.因此空间中点P1
222(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2). 于是空间两点之间的距离公式是d=(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. 【达标检测】
1．点M(3,4,1)到点N(0,0,1)的距离是( A )
A．5 C．3
B．0 D．1
2222．空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点有( A )
A．2个 B．1个 C．0个 D．无数个
3.设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于( A )
A．10 C．6
B．4 D．2
5．到两点A(3,4,5)，B(－2,3,0)距离相等的点M(x，y，z)的坐标满足的条件是( B )
A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0 C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0
6.正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2,－1),B(3,－2,3),则正方体的体积是( C )
A.16 B.192 C.64 D.48
二、填空题
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35
7．已知P(，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝0
22或－4.
8．在空间直角坐标系下，点P(x，y，z)满足x＋y＋z＝1，则动点P表示的空间几何体的表面积是 _ 4π ．
三、解答题
9．已知A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，求B，C两点的距离．
由已知得C(1,2,1)、B(1，－2,1) ∴d(B，C)＝
1－1
2
2
2
2
＋2＋2
2
＋1－1
2
＝4，
即B，C两点间的距离为4.
10．试在坐标平面yOz内的直线2y－z＝1上确定一点P，使点P到点Q(－1,0,4)的距离最小．
设P(0，y,2y－1)，则 |PQ|＝
0＋1
2
＋y＋2y－5
22
＝5y－20y＋26.
2
当y＝2时，|PQ|min＝6，此时P(0,2,3)．
【问题与收获】
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高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离导学案 新人教A版必修2
