利用导数求函数的极值
例 求下列函数的极值：
1．f(x)?x3?12x；2．f(x)?x2e?x；3．f(x)?2x?2. x2?1分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f?(x)?0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
解：1．函数定义域为R．f?(x)?3x2?12?3(x?2)(x?2). 令f?(x)?0，得x??2． 当x?2或x??2时，f?(x)?0， ∴函数在???,?2?和?2,???上是增函数； 当?2?x?2时，f?(x)?0， ∴函数在（－2，2）上是减函数．
∴当x??2时，函数有极大值f(?2)?16， 当x?2时，函数有极小值f(2)??16. 2．函数定义域为R．f?(x)?2xe?x?x2e?x?x(2?x)e?x
令f?(x)?0，得x?0或x?2． 当x?0或x?2时，f?(x)?0，
∴函数f(x)在???,0?和?2,???上是减函数； 当0?x?2时，f?(x)?0， ∴函数f(x)在（0，2）上是增函数． ∴当x?0时，函数取得极小值f(0)?0， 当x?2时，函数取得极大值f(2)?4e． 3．函数的定义域为R．
?22(1?x2)?2x?2x2(1?x)(1?x)f?(x)??. 2222(x?1)(x?1)令f?(x)?0，得x??1． 当x??1或x?1时，f?(x)?0，
∴函数f(x)在???,?1?和?1,???上是减函数； 当?1?x?1时，f?(x)?0，
∴函数f(x)在（－1，1）上是增函数． ∴当x??1时，函数取得极小值f(?1)??3， 当x?1时，函数取得极大值f(1)??1.
说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意f?(x0)?0只是函数
f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加之x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处
取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．
复杂函数的极值
例 求下列函数的极值：
21．f(x)?3x2(x?5) ；2．f(x)?x?x?6.
分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数f(x)的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．
解：1．f?(x)?233x(x?5)?3x2?2(x?5)?3x5(x?2)?3.
33x3x令f?(x)?0，解得x?2，但x?0也可能是极值点． 当x?0或x?2时，f?(x)?0，
∴函数f(x)在???,0?和?2,???上是增函数； 当0?x?2时，f?(x)?0， ∴函数f(x)在（0，2）上是减函数．
∴当x?0时，函数取得极大值f(0)?0， 当x?2时，函数取得极小值f(2)??334．
2??x?x?6,(x??2或x?3),2．f(x)?2
???x?x?6,(?2?x?3),?2x?1,(x??2或x?3),?∴f?(x)??2x?1,(?2?x?3),
?不存在,(x??2或x?3).?令f?(x)?0，得x?当x??2或
1． 21?x?3时，f?(x)?0， 2∴函数f(x)在???,?2?和?,3?上是减函数； 当x?3或?2?x??1??2?1时，f?(x)?0， 2∴函数f(x)在?3,???和??2,?上是增函数． ∴当x??2和x?3时，函数f(x)有极小值0， 当x???1?2?125时，函数有极大值． 24说明：在确定极值时，只讨论满足f?(x0)?0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中x?0处，2中
x??2及x?3处函数都不可导，但f?(x)在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，
函数f(x)在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．
根据函数的极值确定参数的值
32例 已知f(x)?ax?bx?cx(a?0)在x??1时取得极值，且f(1)??1．
1．试求常数a、b、c的值；
2．试判断x??1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．
分析：考察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f?(x)?0的根建立起由极值点x??1所确定的相关等
利用导数求函数的极值习题
