第三讲 等比数列及其前n项和
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义
如果一个数列__从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q__表示．
an＋1符号语言：__＝q__(n∈N*，q为非零常数)．
an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么__G__叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝__ab__.
注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．
知识点二 等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝__a1qn1__＝__amqnm__.
__na1__，q＝1，??
(2)前n项和公式：Sn＝?a1?1－qn? a1－anq____?＝____?，q≠1.?1－q1－q?知识点三 等比数列的主要性质
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar
*
＝a2s，其中p，s，r∈N.
－
－
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
pan
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和{}(其中b，
qbn
p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
(5)等比数列{an}的单调性
???a1>0，?a1<0，①满足?或?时，{an}是递增数列．
?q>1?0 ?a1>0，?a1<0，?? ②满足?或?时，{an}是递减数列． ?0 ?q＝1? ④当q<0时，{an}为摆动数列． 重要结论 1．等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零． (2)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同． S偶S奇－a1 (4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn；若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则 S奇S偶 ＝q. (5)若{an}是等比数列，且an>0(n∈N*)，则{logaan}(a>0且a≠1)成等差数列，反之亦然． (6)若{an}是等差数列，则{aan}(a>0，a≠1)成等比数列，反之亦然． b (7)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四 qbb 个数为3，，bq，bq3. qq 2．等比数列前n项和公式的推导方法__错位相减法__. 双基自测 题组一 走出误区 1．(多选题)下列命题不正确的是( ABCD ) A．满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列 B．如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列 C．如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列 D．数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列 题组二 走进教材 2．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__12,48__. [解析] 设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. S1031 3．(必修5P62B组T2改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则 S5321－ {an}的通项公式an＝__－(－)n1__. 2S10－S5S10311 [解析] 因为＝，所以＝－，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公 S532S5321111 比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－1×(－)n－1＝－(－)n－1. 32222 题组三 考题再现 4．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( D ) A．2f C． 123 B．22f D． 12 3 25f 27f [解析] 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用． 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为则a8＝ 12 12 2的等比数列，设此数列为{an}， 27f，即第八个单音的频率为 12 27f，故选D． 5．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( C ) A．16 C．4 B．8 D．2 [解析] 设数列{an}的公比为q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2 －4＝0，令q2＝t，则t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－a1?1－q4? 2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故选C． 1－q 11216．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a2__. 4＝a6，则S5＝__33325[解析] 解法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q)＝a1q，所以a1q 1 ?1－35?31121 ＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 331－q1－3 a1?1－q5? 1 解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，31 ×?1－35?a13121 所以q＝3，所以S5＝＝＝. 31－q1－3 ?1－q5? KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究 考点一 等比数列的基本运算——自主练透 1 例1 (1)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则 4 a2＝( C ) A．2 1 C． 2 B．1 1D． 8 (2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( A ) A．96里 C．192里 B．48里 D．24里 35(3)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝____. 48(4)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝2，S4＝5S2，则a6＝__16或－16__. 1 [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，由a1＝，a3a5＝4(a4－1)，知q≠1，则a1q2×a1q4 411 ＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4(×q3－1)，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即q3＝8，∴q＝2， 1641 ∴a2＝，故选C． 2 1 (2)由题意得，将该人每天所走的路程依次排列，形成一个公比为的等比数列，记为{an}， 21a1[1－??6] 21 其前6项和等于378，于是有＝378，解得a1＝192，所以a2＝a1＝96，即该人第二 121－2天走了96里，故选A． 3 (3)解法一：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝ 414 1×[1－?－?]a1a123315 ＝，得1＋q＋q2＝，解q＝－，所以S4＝＝＝. 442181－q1－q1－?－?2?1－q3? ?1－q4? 3 解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所 4 3111315 以1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以a4＝a1·q3＝(－)3＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋(－)＝. 4228488 解法三：设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn＝A(1－32 qn)(其中A为常数)，则a1＝S1＝A(1－q)＝1 ①，S3＝A(1－q3)＝ ②，由①②可得A＝，q 431215 ＝－.所以S4＝×[1－(－)4]＝. 2328 (4)设等比数列的公比为q，由a3＝2知：若q＝1，则S4＝8，而5S2＝20，不合题意．∴q≠1，a1?1－q4?5a1?1－q2?∴＝，解得q＝2或－2. 1－q1－q 当q＝2时，a6＝a3·q3＝16， 当q＝－2时，a6＝a3q3＝－16，即a6＝16或－16. 名师点拨 ? 等比数列基本量的求法 等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用． 特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式． 考点二 等比数列的判定与证明——师生共研 3an2 例2 已知数列{an}的首项a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝. 32an＋11 (1)求证：{－1}是等比数列，并求出{an}的通项公式； an1 (2)求数列{}的前n项和Tn. an1 [解析] (1)记bn＝－1， an 2an＋1 －12an＋1－3an bn＋1an＋11－an3an1则＝＝＝＝＝， bn113－3an3?1－an?3－1－1 anan －1 131 又b1＝－1＝－1＝， a122 111 所以{－1}是首项为，公比为的等比数列． an23111n－1 所以－1＝·()， an23 1
2021版新高考数学一轮复习讲义：第五章第三讲 等比数列及其前n项和 (含解析)
