极坐标与参数方程
一、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的
函数，即 ??x?f(t)
?y?f(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系
x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习
1．若直线的参数方程为?A．
?x?1?2t(t为参数)，则直线的斜率为（ ）
?y?2?3t2233 B．? C． D．? 33222．下列在曲线??x?sin2?(?为参数)上的点是（ ）
?y?cos??sin?3142A．(,?2) B．(?,) C．(2,3) D．(1,3)
2??x?2?sin?3．将参数方程?(?为参数)化为普通方程为（ ） 2??y?sin?12A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1)
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程
如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为其参数方程为，其中 焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为 7．直线的参数方程
经过点，过，倾斜角为的直线的参数方程为。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上
方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
北京高考近几年真题
?x??1?cos?（2014年北京.3题5分）曲线?（?为参数）的对称中心（ ）
?y?2?sin?A.在直线y?2x上 B.在直线y??2x上 C.在直线y?x?1上 D.在直线y?x?1上
（2012年北京.9题5分）直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为 ．
（2014年北京.3题5分）答案：B
（2012年北京.9题5分）答案：2
二、极坐标方程 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系
极坐标系有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,
当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
2.极坐标和直角坐标的互化
例题、①直角坐标为(－2，2)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、 ②极坐标为（2，
3π???1. ①答案：?2，? 、（2，）
4??2②答案：(1,3)，（1,0）
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
?）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 3(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点 直角坐标 极坐标 互化公式 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
（1） 点的转化
1、①直角坐标为(－2，2)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、 ②极坐标为（2，
?）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 33π???1. ①答案：?2，? 、（2，）
4??2②答案：(1,3)，（1,0） （2）方程的转化
π??
2、在极坐标系中，直线l: ρsin?θ＋?＝2，则直线在直角坐标系中方程为
4??
在极坐标系中,圆O: ρ＝4,则在直角坐标系中，圆的方程 直线l与圆O相交，所截得的弦长为________． 答案：(1)因为??,
所以直线??的直角坐标方程为??,即??, 圆??的直角坐标方程为??.
(2)由(1)知圆心的坐标是??,半径是4,圆心到直线的距离是??. 所以直线??被圆??截得的弦长是??.
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