2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M??x|?4?x?2?，N??x|x2?x?6?0?，则M?N= A.?x|?4?x?3? B.?x|?4?x??2? C.?x|?2?x?2? D.?x|2?x?3?
2.设复数z满足|z?i|?1，z在复平面内对应的点为（x，y），则 A.(x?1)2?y2?1 B.(x?1)2?y2?1 C.x2?(y?1)2?1 D.x2?(y?1)2?1 3.已知a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则
A.a?b?c B.a?c?b C.c?a?b D.b?c?a
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是
5?15?1?0.618，称为黄金分割比例），著名的（
22“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5?1。若某人满足上述两个黄金分割比例，2且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm
sinx?x5.函数f(x)?在[-π，π]的图像大致为
cosx?x2
1
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
5112111 A. B. C. D.
16323216
7.已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为
ππ2π5π A. B. C. D.
6336
18.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
12?12?211 A.A? B.A?2?
2?aa11C.A? D.A?1?
1?2a2a
9.设Sn为等差数列?an?的前n项和。已知S4?0，a5?5，则： A.an?2n?5 B.an?3n?10 B.Sn?2n2?8n D.Sn?
0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若 10.已知椭圆C的焦点为F1(?1，|AF2|?2|F2B|,|AB|?|BF1|，则C的方程为
12n?2n 2x2x2y2x2y2x2y22?1 C.??1 D.??1 A.?y?1 B.?2324354
11.关于函数f(x)?sin|x|?|sinx|有下述四个结论：
1f(x)是偶函数 ○2f(x)在区间(，π）单调递增 ○
π2π，π]有4个零点 ○3f(x)在[?4f(x)的最大值为2 ○
其中所有正确结论的编号是
A.○1○2○4 B.○2○4 C.○1○4 D.○1○3
2
12.已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA?PB?PC,?ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA,AB的中点，?CEF?90?，则球O的体积为
π B.46π C.26π D.6π A.86二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.曲线y?3(x2?x)ex在点（0,0）处的切线方程为 . 12?a6，则S5? . ，a4315.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 . 14.记Sn为等比数列?an?的前n项和.若a1?x2y216.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线
ab与C的两条渐近线分别交于A,B两点，若F1A?AB,F1B?F2B?0,则C的离心率为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分 17.（12分）
(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC. ?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设
（1）求A;
（2）若2a?b?2c，求sinC.
3
18.（12分）
如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AA1?4,AB?2,
?BAD?60?,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE; （2）求二面角A?MA1?N的正弦值.
19.（12分）
已知抛物线C:y2?3x的焦点为F,斜率为
x轴的交点为P.
3的直线l与C的交点为A,B,与2（1）若|AF|?|BF|?4，求l的方程； （2）若AP?3PB，求|AB|.
4
20.（12分）
已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f'(x)为f(x)的导数.证明：
π（1）f'(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点；
2（2）f(x)有且仅有2个零点.
21.（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效，为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为?和
?，一轮试验中甲药的得分记为X.
（1）求X的分布列；
???，8)表示“甲药的（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1，累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，ps?1，
pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,???,7)，其中a?P(X??1),b?P(X?0)，c?P(X?1).
假设??0.5，??0.8 .
（i）证明：?pi?1?pi?(i?0,1,2,???,7)为等比数列； （ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
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2019年高考理科数学详解(全国一卷)
