2004年全国高中数学联赛试题及详细解析
一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
2
1．设锐角使关于x的方程x+4xcos( )
+cos
=0有重根，则的弧度数为
55
A． B．或 C．或 D．
6121261212
2
2
2．已知M={(x，y)|x+2y=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是
( )
A．[－23
] 3
13
3．不等式log2x－1+log1 x+2>0的解集为
22
A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] 4．设点O在的比为( )
35
A．2 B． C．3 D．
23
6666232323
，] B．(－，) C．(－，] D．[－，2222333
ABC的内部，且有OA+2OB+3OC=0，则
→→→→ABC的面积与AOC的面积
8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，
则f(x)= ；
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；
10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k－pk也是一个正整数，则k= ； 111．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则∑的i=0n2
ai值是 ；
12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；
二试题
一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．
二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列1
{An}与曲线y=2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴
GKAFEBCDHn上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．
⑴ 证明an>an+1>4，n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*，使得对?n>n0，都有++…+
b2b3b1b2bnbn+1
+ 2004年全国高中数学联赛试卷 第一试 一．选择题(本题满分36分，每小题6分) 2 1．设锐角使关于x的方程x+4xcos+cot=0有重根，则( ) 的弧度数为 55 A． B．或 C．或 D． 6121261212【答案】B 【解析】由方程有重根，故∵ 0<<，2 2sin2 1 =4cos24 －cot=0， =1，=或5 ．选B． 1212 13 3．不等式log2x－1+log1x+2>0的解集为 22 A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] 【答案】C 3 【解析】令log2x=t≥1时，t－1>t－2．t∈[1，2)， 2 4．设点O在的比为( ) 35 A．2 B． C．3 D． 23【答案】C 【解析】如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3S．选C． Ax∈[2，4)，选C． ABC的内部，且有OA+2OB+3OC=0，则 →→→→ABC的面积与AOC的面积 OB1D=OB1C1=3S，AOB=B1BOSCC1D5．设三位数n=ˉˉˉabc，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则 这样的三位数n有( ) A．45个 B．81个 C．165个 D．216个 6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A．525626 B． C． D． 3333 二．填空题(本题满分54分，每小题9分) 7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= a+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ； 2 【答案】a2+1． 2 a2222 【解析】f(x)= a+1sin(ax+)，周期=，取长为，宽为2a+1的矩形，由对 aa2 称性知，面积之半即为所求．故填 aa2+1． 又解： ∫ 10 a2+122p2 a+1[1－sin(ax+)]dx=a+1． (1－sint)dt=a∫0a2 8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ； 【答案】x+1 【解析】令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2． 令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．① 又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．② 比较①、②得，f(x)=x+1． 10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k－pk也是一个正整数，则k= ； 12 【答案】(p+1)． 4122 【解析】设k－pk=n，则(k－)－n=，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p，k=(p+1)． 244 2 2 2 2 pp2 1 11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则∑的i=0nai值是 ； 1n+2 【答案】(2－n－3)． 3
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