课时跟踪检测（十四） 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
层级一 学业水平达标
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( ) A．z－1 C．－10＋18i
B．z＋1 D．10－18i
解析：选C 1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i. 2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( ) A．－2 C．3
B．4 D．－4
解析：选B z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选B z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( ) A．3 C．1
B．2 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.
5．设向量OP―→，PQ―→，OQ―→对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( ) A．z1＋z2＋z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0
B．z1－z2－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
解析：选D ∵OP―→＋PQ―→＝OQ―→，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.
6．(2016·绍兴高三检测)已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________.
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
??x＋4＝y－1，∴?
?x＋y＝3x－1，?
??x＝6，
解得?
?y＝11.?
答案：6 11
7．在复平面内，AB―→对应的复数是2＋i，CB―→ 对应的复数是－1－3i.则CA―→对应的复数为________．
解析：∵BA―→对应复数－2－i，CB―→对应复数－1－3i，
∴CA―→对应复数－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i 8．已知z1＝＋b＝________.
解析：∵z1－z2＝43，
3?3?
a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝?a＋33b?＋(a－b－1)i＝2?2?3
a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a2
??3a＋33b＝43，
由复数相等的条件知?2
??a－b－1＝0，
??a＝2，
解得?
?b＝1.?
∴a＋b＝3.
答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)． 解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i＝1 008－1 009i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
??x＋3＝5，∴?
?2－y＝－6，?
??x＝2，
解得?
?y＝8，?
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( ) A．0 C.2
2
B．1 1 D.
2
解析：选C 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到
点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为
2. 2
2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量Z1Z2―→对应的复数为( )
A．3＋4i C．－2＋6i
B．5－2i D．2－6i
―→―→―→
解析：选D Z1Z2＝OZ2－OZ1，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 C．重心
B．内心 D．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
―→―→
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数―→
分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是( )
A．2＋4i C．－4＋2i
B．－2＋4i D．4－2i
―→―→―→―→―→
解析：选D 依题意有CD＝BA＝OA－OB.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，故CD对应的复数为4－2i，故选D.
5．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝________.
解析：三个复数对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，根据三点共线，可得
a＝5.
答案：5
6．已知z＝m＋3＋(2m＋1)i(－2≤m≤1)，则|z|的最大值是________． 解析：|z|＝m＋
2＋m＋
2＝m＋
2＋5，
∵－2≤m≤1，∴m＝1时，|z|max＝5. 答案：5
7．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. ―→―→―→
(1)求向量AB，AC，BC对应的复数； (2)判断△ABC的形状．
(3)求△ABC的面积．
―→
解：(1) AB对应的复数为2＋i－1＝1＋i， ―→
BC对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i， ―→
AC对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
―→―→―→
(2)∵|AB|＝2，|BC|＝10，|AC|＝8＝22， ―→2―→2―→2
∴|AB|＋|AC|＝|BC|，∴△ABC为直角三角形． 1
(3)S△ABC＝×2×22＝2.
2
8．设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i，又ω＝sin θ－icos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围．
解：∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i，∴6a＋2bi＝33＋i，
?6a＝33，∴?
?2b＝1，
3
?a＝?2，∴?
1b＝.??2
∴z＝
31
＋i， 22
∴z－ω＝?＝?
?31?
＋i?－(sin θ－icos θ) ?22?
?3??1?
－sin θ?＋?2＋cos θ?i
??2??
?3?2?1?2
?－sin θ?＋?2＋cos θ?
??2??
∴|z－ω|＝ ＝ 2－3sin θ＋cos θ ＝ 2－2?
1?3?
sin θ－cos θ?＝
2?2?
π??2－2sin?θ－?，
6??
π??∵－1≤sin?θ－?≤1，
6??
π??∴0≤2－2sin?θ－?≤4，∴0≤|z－ω|≤2， 6??故所求得z＝31
＋i，|z－ω|的取值范围是[0,2]． 22
浙江专版2024年高中数学课时跟踪检测十四复数代数形式的加减运算及其几何意义新人教A版选修2_2
