2024_2024学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质章末综合提升学

第3章 函数的概念与性质

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

【例1】 (1)求函数y＝5－x＋x－1－

1的定义域． x－9

2

求函数的定义域 (2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

5－x≥0，??

[解] (1)解不等式组?x－1≥0，

??x2－9≠0，

x≤5，??

得?x≥1，??x≠±3，

故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．

1

(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，

2

???1112

所以y＝x·(a－2x)＝－x＋ax，定义域为?x?0

??

?. ??

1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． 2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

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[跟进训练] 1．函数f(x)＝

3x2

1－x＋(3x－1)的定义域是( )

0

1??A.?－∞，? 3???1?B．?，1?

?3?

1??1??D．?－∞，?∪?，1? 3??3??

?11?C.?－，?

?33?

??1－x>0，D [由?

?3x－1≠0，?

1

得x<1且x≠，故选D.]

3

求函数的解析式 【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为______．

?1＋x?＝1＋x＋1，则f(x)的解析式为________．

(2)已知f??x2x?x?

2

?1＋x，x>0(1)f(x)＝?0，x＝0

?－－x－1，x<0

2

(2)f(x)＝x－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即－f(x)＝－x＋1，∴f(x)＝－－x－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，

?1＋x，x>0，∴f(x)＝?0，x＝0，

?－－x－1，x<0.

2

?1?1＋??1＋x?1＋x11＋x11?t－1??(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f?得f(t)＝?＝x2＋x，2

xxt－1?x?

2

?1?

?t－1???

＋1

1t－1

＝(t－1)＋1＋(t－1)＝t－t＋1. 所以所求函数的解析式为

- 1 -

2

2

f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]

求函数解析式的题型与相应的解法 1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.

2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法. 3含fx?1?与f－x或fx与f??，使用解方程组法.,4已知一个区间的x??

解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.

[跟进训练]

2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.

(2)二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．

11

(1)x＋ [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，2211

两式联立得f(x)＝x＋.]

22

(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1， 所以－＝－1即b＝2a，

2a又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 4ac－b由条件③知：a>0，且＝0，

4a1112

即b＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝，

4241211

所以f(x)＝x＋x＋.

424

2

2

b 【例3】 已知函数f(x)＝

函数的性质及应用 ax＋b?1?22是定义在(－1,1)上的奇函数，且f??＝. 1＋x?2?5

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．

?1?2

[思路点拨] (1)用f(0)＝0及f??＝求a，b的值；

?2?5

(2)用单调性的定义求解．

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