2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）
一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.x?0?时，下列无穷小量中最高阶是（ ） A.?x20?et?1?dt
B.?x30ln(1?tdt) C.?sinx0sint2dt
D.
?1?cosx0sint2dt
2.设函数f(x)在区间（-1，1）内有定义，且limx?0f(x)?0,则（ ） A.当limf(x)x?0|x|?0,f(x)在x?0处可导. B.当limf(x)x?0x2?0,f(x)在x?0处可导.
C.当f(x)在x?0处可导时,limf(x)x?0|x|?0. D.当f(x)在x?0处可导时,limf(x)x?0x2?0.
3.设函数f(x)在点（0，0）处可微，f(0,0)?0,n????f??x,?f?y,?1???非零向量d与n重直，则（(0,0)A.n?(x,y,f(x,y))|(x,ylim|)?(0,0)x2?y2?0存在
B.,y,f(x,y))|(x,ylim|n?(x)?(0,0)x2?y2?0存在
）C.(x,y)?(0,0)lim|d?(x,y,f(x,y))|x?y22?0存在
D.(x,y)?(0,0)lim|d?(x,y,f(x,y))|x?y22?0
4.设R为幂级数
?axnn?1?n的收敛半径，r是实数，则（ ）
A.
?axnn?1?n发散时，|r|?R
B.
?axnn?1?n发散时，|r|?R
C.|r|?R时，
?axnn?1?n发散
D.|r|?R时，
?axnn?1?n发散
5.若矩阵A经初等变换化成B，则（ ） A.存在矩阵P，使得PA=B B.存在矩阵P，使得BP=A C.存在矩阵P，使得PB=A D.方程组Ax=0与Bx=0同解 6.已知直线L1:x?a2y?b22?c2?? a1b1c1?ai?x?a3y?b32?c3????与直线L2:相交于一点，法向量ai??bi?,i?1,2,3.则 a2b2c2??ci??aa,aA.1可由23线性表示
B.a2可由a1,a3线性表示 C.a3可由a1,a2线性表示 D.a1,a2,a3线性无关
7.设A,B,C为三个随机事件，且P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?04P(AC)?P(BC)?1，则12A,B,C中恰有一个事件发生的概率为
3 42B. 31C. 25D. 12A.
8.设x1,x2,…,x(n)为来自总体X的简单随机样本，其中P(X?0)?P(X?1)??100?分布函数，则利用中心极限定理可得P??Xi?55?的近似值为
?i?1?A.1??(1)
B.?(1) C.1??(0,2) D.?(0,2)
1,?(x)表示标准正态2二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。请将解答写在答题纸指定位置上.
?11??? ?x?0ex?1ln(1?x)??2?x?t?1?d2y10.设?，则2|t?1?
2dx??y?ln(t?t?1)9.lim?
11.若函数f(x)满足f??(x)?af?(x)?f(x)?0(a?0),且f(0)?m,f?(0)?n，则12.设函数f(x,y)? 13.行列式
???0f(x)dx?
?xy0?2fedt，则?
?x?y(1,11)xt2a0?110a1?1?11a01?10a?
14. 设x顺从区间??
????,?上的均匀分布，Y?sinX，则Cov(X,Y? ?22?三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
求函数f(x,y)?x?8y?xy的最大值 16.（本题满分10分） 计算曲线积分I?33?L4x?yx?y2x?y?2，方向为逆时针方向 dx?dyL是2224x?y4x?y其中
17.（本题满分10分） 设数列{an}1??naxa1?1(x?1)an?1??n??an |x|?1?n时幂纹数满足2??，证明：当n?1收敛，并求其和函数.
18.（本题满分10分） 设?为由面Z:x?y22?x2?y2?4?的下侧，f(x)是连续函数，计算
I???[xf(xy)?2?y]dydz?[yf(xy)?2y?x]dzdx?[2f(xy)?2]dxdy
?
max{|f(x)|},证明（1）19.设函数f(x)在区间[0,2]上具有连续导数，f(0)?f(2)?0,M?x，存在号?(0,2)??(0,2)，使得|f?(?)|?M（2）若对任意的x?(0,2),|f?(x)|?M，则M?0.
20.设二次型f(x1,x2)?x?4x1x2?4x2122经正交变换
?x1??y1????Q??化为二次型?x2??y2?2g(y1,y2)?ay12?4y1y2?by2，其中a?b.
（1）求a,b的值. （2）求正交矩阵Q.
21.设A为2阶矩阵，P?(?,A?)，其中?是非零向量且不是A的特征向量. （1）证明P为可逆矩阵
（2）若A2??A??6??0，求P?1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.
22.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为
1P{X3?0}?P{X3?1}?,Y?X3X1?(1?X3)X2.
2（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数?(x)表示. （2）证明随机变量Y服从标准正态分布.
23.设某种元件的使用寿命T的分布函数为
?t????1?e?????,t?0, F(t)???0,其他.?m其中?,m为参数且大于零.
（1）求概率P{T?t}与P{T?S?t|T?S}，其中S?0,t?0.
（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1,t2…,tn，若m已知，求?的最大似然估计
?. 值?
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