高考数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。
? x>0? x + y>0? x>1? x + y>3???? ? ，但 与 不等价。 ? y>0? xy>0? y>2? xy>2
x
【例1】已知f(x) = ax + b ，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围。
①??3?a?b?0?错误解法 由条件得? b3?2a??6?②2?②×2－① 6?a?15 ③ ①×2－②得 ?8b2??? ④ 33310b431043?3a??,即?f(3)?. ③+④得 33333x，其b错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)?ax?值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
?f(1)?a?b?正确解法 由题意有?b, 解得：
f(2)?2a??2?12a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],
33b1651637?f(3)?3a??f(2)?f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得 ?f(3)?.
39933在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固
地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】
22(1) 设?、?是方程x?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)?(??1)的最小值是
2(A)?494(B)8(C)18(D)不存在
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,
?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2 349?4(k?)2?.44有的学生一看到?49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的4体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
? 原方程有两个实根?、?，∴??4k2?4(k?6)?0 ? k??2或k?3.
当k?3时，(??1)2?(??1)2的最小值是8； 当k??2时，(??1)2?(??1)2的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
y22
(2) 已知(x+2)+ 4 =1, 求x2+y2的取值范围。
错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+82828
∴当x=－ 时，x2+y2有最大值 ，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。
333分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
y2y222
事实上，由于(x+2)+ =1 ? (x+2)=1－ ≤1 ? －3≤x≤－1，
44从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴
x2+y2的取值范围是[1,
28
]。 3
8228)+ ， 33注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
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【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
ab错解 (a+
1211121)+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8, abababab∴(a+
121)+(b+)2的最小值是8. ab1,2分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=第二次等号成立的条件是ab=小值。
事实上，原式= a2+b2+
1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最ab1111112222
++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－2222ababab2]+4 ab1)+4， 22aba?b211111由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，
2422abab1251∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
2221125
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是2 。
ab
= (1－2ab)(1+
●不进行分类讨论，导致错误
【例4】(1)已知数列?an?的前n项和Sn?2n?1，求an.
错误解法 an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?2n?1?2n?1. 错误分析 显然，当n?1时，a1?S1?3?21?1?1。 错误原因：没有注意公式an?Sn?Sn?1成立的条件是。
因此在运用an?Sn?Sn?1时，必须检验n?1时的情形。即：an??222(2)实数a为何值时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?222错误解法 将圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线 y?22?S1(n?1)。
?Sn(n?2,n?N)21x有两个公共点。 21x联立，消去y， 2得 x?(2a?)x?a?1?0(x?0). ①
122???0?171?. 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得?2a??0 ， 解之得a?82?2??a?1?0.
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a?0时，圆与抛物线有两个公共点。
y y O x O x 图2－2－1 图2－2－2
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