含参量积分的分析性质及其应用
班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日
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含参量积分的分析性质及其应用
1. 含参量正常积分的分析性质及应用
1.1含参量正常积分的连续性
定理1 若二元函数f(x,y)在矩形区域R?[a,b]?[c,d]上连续,则函数
??x?=?f(x,y)dy在[a,b]上连续.
cd例1 设
10f(x,y)?sgn(x?y)（这个函数在x=y时不连续）,试证由含量积
分F(y)??f(x,y)dx所确定的函数在(??,??) 上连续.
解 因为0?x?1,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x
则F(y)??(?1)dx??dx?1?2y.
0yy11, y<0
当y>1时, f(x,y)=-1,则F(y)??(?1)dx??1,即F(x)= 1-2y,0?y<0
01 -1 y>1 又因lim?1?F(0),limF(y)??1?F(1).F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)
y?0y?1在(??,??)上连续.
例2 求下列极限：（1）lim??0?1?1x?adx; (2)lim?x2cos?xdx.
??00222解 （1）因为二元函数x2??2在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由
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连续性定理得?1?1x2?a2dx在[-1,1]上连续.则
1??0?1lim?x2?a2dx??limx2?a2dx??xdx?1.
?1??0?111,] 上连续,由连续22222??822性定理得,函数?xcosaxdx在[?,]上连续.则lim?xcosaxdx??x2dx?.
00??00223例3 研究函数F(x)?正的连续函数.
解 对任意y0?0,取??0,使y0???0,于是被积函数
yf(x)在22x?y （2）因为二元函数x2cosax在矩形域R?[0,2]?[????10yf(x)dx的连续性,其中f（x）在闭区间[0,1]上是
x2?y2R?[0,1]?[y0??,y0??]上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F（y）在
区间[y0??,y0??]上连续,由y0的任意性知,F（y）在(0,??)上连续.又因
F(?y)??11yf(x)?yf(x)dx??dx,则F（y）在(??,0)上连续.当y=0处2222?0x?yx?y0F(y0)?0.由于f(x)为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.
F(y)??101yf(x)my1mdx??dx?marctan,从而limF(y)???0,但 2222??0y?0yx?yx?y4F(y)在y=0处不连续,所以F（y）在(??,??)?(0,??)上连续,在y=0处不连续.
定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|c(x)?y?d(x),a?x?b}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?上连续.
例4 求lim??0?1??d(x)c(x)f(x,y)dy在[a,b]
?1??dx22. 1?x??dx1?,1??,.由于都是?和x的连续函数,22?1?x2??21?x??1dx??由定理2知I(?)在??0处连续,所以limI(?)?I(0)??.
01?x2??04解 记I(?)?例5 证明函数F(y)??e?(x?y)dx在(??,??)上连续.
0??2证明 对?y?(??,??),令x-y=t,可推得
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F(y)??e?(x?y)dx??e?tdt??e?tdt??e?tdt??e?tdt?00?y0?y??2??202??202?2.
对于含多量正常积分?e?tdt,由连续性定理可得?e?tdt在(??,??)上连续,则
?y?y0202F(y)??e?(x?y)dx在(??,??)上连续.
0??21.2含参量正常积分的可微性
定理3 若函数f?x,y?与其偏导数上连续,则??x?=?dc?f?x,y?都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]?xd?ddf(x,y)dy在[a,b]上可微,且?f(x,y)dy??f(x,y)dy.
ccdx?x定理4 设f?x,y?,fx?x,y?在R=[a,b]*[p,q]上连续,c?x?,d?x?为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F?x?=?且F'(x)??d(x)c(x)d(x)c(x)f(x,y)dy在[a,b]上可微,
fx(x,y)dy?f(x,d(x))d'(x)?f(x,c(x))c'(x).
定理5 若函数f?x,y?及fx?x,y?都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上
a'(y)及b'(y)皆存在,并且a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b (c≤y≤d),则
F'(y)?b(y)db(y)''f(x,y)dx?f(x,y)dx?f[b(y),y]b(y)?f[a(y),y]a(y). y?a(y)dy?a(y)证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于
F(y)??b(y0)a(y0)f(x,y)dx??b(y)b(yo)f(x,y)dx??a(y)a(y0)f(x,y)dx?F1(y)?F2(y)?F3(y).
现在分别考虑Fi(y)(i?1,2,3)在点y0处得导数.由定理5可得
F1'(y0)??由于F2(y0)?0,所以
F2';(y0)?limb(y0)a(y0)fy(x,y0)dx.
y?yob(y)f(x,y)F2(y)?F2(yo)F(y)?lim2?lim?dx.
b(y)y?yy?y000y?y0y?y0y?y0应用积分中值定理F2'(y0)?limb(y)?b(y0)?f(?,y).这里?在b(y)和b(y0)之间.
y?y0y?y0再注意到f?x,y?的连续性及b(y)的可微性,于是得到
F2'(y0)?b'(y0)f[b(y0),y0].
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同样可以证明
F3'(y0)?a'(y0)f[a(y0),y0]
于是定理得证.
sinyxdx,求F'(y).
yx解 应用定理5有 例6 设F(y)??y2F(y)??'y2ysiny3siny2cosyxdx?2y?2?1?
yyy2ysinyx ?y2siny3siny2 ??yy3siny3?2siny2 ?.
y例7 设f(x)在x?0的某个邻域U上连续,验证当x?U时,函数
n?1x1(x?t)f(t)dt （1） ?(x)?
(n?1)!?0的n阶导数存在,且?(n)(x)?f(x).
解 由于（1）中被积函数F(x,t)?(x?t)n?1f(t)及其偏导数Fx(x,t)在U上连续,于是由定理4可得
?'(x)?x11n?2n?1(n?1)(x?t)f(t)dt?(x?x)f(x) ?0(n?1)!(n?1)!x1(x?t)n?2f(t)dt. ??(n?2)!0同理
?''(x)?x11n?3n?1(n?2)(x?t)dt?(x?x)f(x) ?0(n?2)!(n?1)!x1(x?t)n?3f(t)dt. ??(n?3)!0如此继续下去,求得k阶导数为
?(k)(x)?x1n?k?1(x?t)f(t)dt.
(n?k?1)!?0特别当k?n?1时有
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