2024-2024中考数学易错题专题复习-锐角三角函数练习题含答案
一、锐角三角函数
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30?、60?,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A'处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机A'上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）【解析】 【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过A'作A'E?BC交BC的延长线于E，连接A'D，于是得到A'E?AC?60，
23. 5CE?AA'?303，在Rt△ABC中，求得DC=
即可得到结论． 【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ABC中，AC=60m，
3AC=203，然后根据三角函数的定义3AC?AB==1=120（m）
sin30?602（2）过A'作A'E?BC交BC的延长线于E，连接A'D， 则A'E?AC?60， CE?AA'?30在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
3，
?DC=3AC=203 3?DE=503
?tan∠AA'D= tan∠A'DC=
60A'E23 ==DE503523． 5答：从无人机A'上看目标D的俯角的正切值是
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．已知在平面直角坐标系中，点A?3,0?,B??3,0?,C??3,8?，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交eE于点D，连接OD. （1）求证：直线OD是eE的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交eE于点G，连接BG： ①当tan?ACF?②求
1时，求所有F点的坐标 （直接写出）； 7BG的最大值. CFBG1?43?,0?，F2(5,0)；② 的最大值为.
2CF?31?【答案】（1）见解析；（2）①F1?【解析】 【分析】
（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM?BC于点M，证明?ANF1~?ABC，得【详解】
（1）证明：连接DE，则：
BG1?，从而得解. CF2
∵BC为直径 ∴?BDC?90?
∴?BDA?90? ∵OA?OB ∴OD?OB?OA ∴?OBD??ODB ∵
EB?ED
∴?EBD??EDB
∴?EBD??OBD??EDB??ODB 即：?EBO??EDO ∵CB?x轴 ∴?EBO?90? ∴?EDO?90? ∴直线OD为eE的切线.
（2）①如图1，当F位于AB上时： ∵?ANF1~?ABC
ANNF1AF1?? ABBCAC∴设AN?3x，则NF1?4x,AF1?5x
∴
∴CN?CA?AN?10?3x
F1N4x110??，解得：x? CN10?3x73150∴AF1?5x?
315043OF1?3??
3131∴tan?ACF??43?F,0? 即1??31?
如图2，当F位于BA的延长线上时： ∵?AMF2~?ABC
∴设AM?3x，则MF2?4x,AF2?5x ∴CM?CA?AM?10?3x ∴tan?ACF?解得：x?F2M4x1?? CM10?3x72 5∴AF2?5x?2
OF2?3?2?5
即F2(5,0)
②如图，作GM?BC于点M， ∵BC是直径
∴?CGB??CBF?90? ∴?CBF~?CGB
BGMGMG?? CFBC8∵MG?半径?4
∴
BGMG41??? CF882BG1∴的最大值为.
2CF∴
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
3．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3． （1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
【答案】（1）tan∠DBC=（2）P（﹣【解析】
，
）．
；
试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4tan∠DBC=
；
，BE=BC﹣DE=
．由此可知
（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=
．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知
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