x2y21?3?2．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且点?1，?在该椭圆上． ab2?2?
(1)求椭圆C的方程；
62
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆7心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．
解 (1)由题意可得e＝c1
a＝2
，
又a2
＝b2
＋c2
， 所以b2
＝324
a.
因为椭圆C经过点??3?1，2???
， 9所以1
4a2＋3＝1，
4a2
解得a2
＝4，所以b2
＝3， 故椭圆C的方程为x2y2
4＋3
＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，
?x＝ty－1，由??x22＋y＝消去x，得(4＋3t2)y2
－6ty－9＝0，
??43
1，
显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则yt9
1＋y2＝
64＋3t2，y1y2＝－4＋3t2， 所以|y＝?y21－y2|1＋y2?－4y1y2 2
＝ 36t3612t2
＋1?4＋3t2?2＋4＋3t2＝4＋3t2， 所以S＝1
△AOB2·|F1O|·|y1－y2|
2
＝6t＋1624＋3t2＝7， 化简得18t4
－t2
－17＝0，
11
即(18t＋17)(t－1)＝0， 1722
解得t1＝1，t2＝－(舍去)．
18
|0－t×0＋1|1
又圆O的半径r＝＝， 22
1＋t1＋t所以r＝
2122
，故圆O的方程为x＋y＝. 22
22
A组 专题通关
y2x2
1．(2024·合肥模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的
ab→
一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点．若M为AF的中点，且|AF|＝6，则双曲线
C的方程为( )
A.－＝1 28C．y－＝1
4答案 C
解析 设M为双曲线虚轴的右端点，
由题意，可得F(0，c)，M(b,0)，则A(2b，－c)，
2
y2x2
B.－＝1 82D.－x＝1 4
y2x2y2
x2
2
??c4b由题意可得?－＝1，
ab??c＝a＋b，
2
2
2
2
2
2
2
2
b2＋c2＝9，
x2
解得a＝1，b＝2，
所以双曲线C的方程为y－＝1.
4
x2y2
2．(2024·潍坊模拟)设P为双曲线2－2＝1右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦
ab→→
点，c，e分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF1·PF2＝0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆的半径为( ) A．a B．b C．c D．e 答案 A
→→
解析 根据题意PF1·PF2＝0，可知△AF1P是直角三角形，根据直角三角形的内切圆的半径公
12
式以及双曲线的定义可知2r＝|PF1|＋|PA|－|AF1|＝|PF1|＋|PA|－|AF2|＝|PF1|－(|AF2|－|PA|)＝|PF1|－|PF2|＝2a，求得r＝a，故选A.
x2y2
3．(2024·天津)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直
ab线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 39C.－＝1 412答案 A
解析 设双曲线的右焦点为F(c,0)．
x2y2x2
B.－＝1 93D.－＝1 124
x2y2x2
y2y2
x2y2c2y2
将x＝c代入2－2＝1，得2－2＝1，
ababb2
∴y＝±.
ab??b??不妨设A?c，?，B?c，－?. a??a??
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
2
2
ba则d1＝
?b·c－a·b??a???|bc－b2|bb2＋?－a?2
2
2
＝c＝(c－b)，
cd2＝?b·c＋a·b??a???|bc＋b2|bb2＋?－a?2
bc＝c＝(c＋b)，
c∴d1＋d2＝·2c＝2b＝6，∴b＝3. ∵＝2，c＝a＋b，∴a＝3， ∴双曲线的方程为－＝1.
39故选A.
ca2222
x2y2
x2y2
4．(2024·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过
abF2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为( )
A.5 B．2 C.3 D.2 答案 C
13
解析 如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，
由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形． 因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a， 所以|F2P|＝2a＝b，
所以c＝a＋b＝3a，所以e＝＝3.
5．(2024·全国Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________. 答案 2
??y1＝4x1，
解析 方法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?2
?y2＝4x2，?
22
22ca
∴y1－y2＝4(x1－x2)，∴k＝
22
y1－y24
＝. x1－x2y1＋y2
设AB的中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，
11
则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)
221
＝(|AA′|＋|BB′|)． 2∵M′(x0，y0)为AB的中点，
∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与
y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
2k＋4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝2. 2
k→
由M(－1,1)，得AM＝(－1－x1,1－y1)， →
BM＝(－1－x2,1－y2)．
→→
由∠AMB＝90°，得AM·BM＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
14
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
2
2k＋4??2k＋4?2k＋42?∴1＋2＋1＋k?1－2＋1?－k?2－2?＋1＝0，
2
2
2
k?
k??k?
44
整理得2－＋1＝0，解得k＝2.
kkx2y2x2y2
6．(2024·北京)已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)，双曲线N：2－2＝1.若双曲线N的两条渐
abmn近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________． 答案
3－1 2
解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝3，
nmnmn2
∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋2＝4，∴e1＝2.
m21
??y＝3x，由?x2y2
2＋2＝1，??ab
a2b2
得x＝22.
3a＋b2
如图，设D点的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x＝c. 4ab224224
∴22＝a－b，得3a－6ab－b＝0， 3a＋b6b?b?2b∴3－2－?2?＝0，解得2＝23－3.
2
2
2
22
2
2
a?a?
ab2
∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－2＝4－23.
a22
∴e2＝3－1.
方法二 双曲线N的渐近线方程为y＝±x， 则＝tan 60°＝3.
又c1＝m＋n＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.
15
2
2
nmnmc1m
(全国通用版)2024高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文
