3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
预习课本P82~85,思考并完成以下问题 1.直线的倾斜角的定义是什么? 2.直线的倾斜角的范围是什么? 3.直线的斜率的计算公式是怎样的? [新知初探]
1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上方角叫做直线l的倾斜角.如图所示,直线l的倾斜角是∠APx,直线l′的
向之间所成的倾斜角是∠
BPx.
(2)倾斜角的范围:
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. [点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件:
①x轴正方向;②直线向上的方向;③小于180°的非负角.
(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.
2.直线的斜率 (1)斜率的定义:
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示,即k=tan_α. (2)斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=
(3)斜率的作用:
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度.
y2-y1
.当x1=x2时,直线P1P2没有斜率. x2-x1
[点睛] 直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率( ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )
(3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan α( ) (4)直线斜率的取值范围是(-∞,+∞)( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
2.若直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角是( ) A.45° C.45°或135°
B.135° D.-45°
解析:选B 作出直线l,如图所示,由图易知,应选B.
3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为( ) A.3 3
B.3
2 2
3. 3
C.1 D.
解析:选A 由题意可知,直线l的斜率k=tan 30°=
直线的倾斜角
[典例] 设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
A.α+45° C.135°-α
B.α-135°
D.α+45°或α-135°
180°(0°≤α<180°,所以当
[解析] 由倾斜角的取值范围知,只有当0°≤α+45°<<180°),即0°≤α<135°时,l1的倾斜角才是α+45°.而0°≤α135°≤α<180°时,l1的倾斜角为α-135°(如图).
[答案] D
求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. [活学活用]
已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) A.0°≤α<90° C.90°<α<180°
B.90°≤α<180° D.0°<α<180°
解析:选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
直线的斜率
[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α. (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(-2,3),D(2,-1); (3)P(-3,1),Q(-3,10).
5-3
[解] (1)存在.直线AB的斜率kAB==1,即tan α=1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=
4-245°.
-1-3
(2)存在.直线CD的斜率kCD==-1,即tan α=-1,又 0°≤α<180°,所以倾斜角
2--2
α=135°.
(3)不存在.因为xP=xQ=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°.
人教A版高中数学高一必修二(浙江专版)学案:3.1直线的倾斜角与斜率_Word版有答案)



