∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN，
∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°， ∴∠APB=120°， ∵∠AKB=60°， ∴∠AKB+∠APB=180°， ∴A、K、B、P四点共圆， ∴∠BPH=∠KAB=60°， ∵PH=PB，
∴△PBH是等边三角形， ∴∠KBA=∠HBP，BH=BP， ∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA， ∴△KBH≌△ABP， ∴HK=AP，
∴PA+PB=KH+PH=PK，
∴PK的值最大时，△APB的周长最大，
∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4， ∴△PAB的周长最大值=2
+4．
11．(1)问题发现
如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由； (2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF； (3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，
根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 试题解析：(1)理由是：如图1，
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1， ∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F. D. G共线， 则∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°?45°=45°=∠EAF， 即∠EAF=∠FAG， 在△EAF和△GAF中， AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG， ∴△AFG≌△AFE(SAS)， ∴EF=FG=BE+DF；
(2)∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF； ∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，
∴∠BAE=∠DAG， ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F. D. G共线， 在△AFE和△AFG中， AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF， ∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG， 即：EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180°； (3)BD2+CE2=DE2.
理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，
则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠CAE=45°， 又∵∠FAB=∠CAE， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 则在△ADF和△ADE中， AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE， ∴△ADF≌△ADE， ∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°， ∴∠BDF=90°， ∴△BDF是直角三角形, ∴BD2+BF2=DF2， ∴BD2+CE2=DE2.
12．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F． （1）当点E落在线段CD上时（如图）， ①求证：PB=PE；
②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为画图见解析，成立 ；（3）能，1. 【解析】
2；（2）2分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．
（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立． （3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．
详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC， ∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°． ∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°． ∵PE⊥PB即∠BPE=90°， ∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH． 在△PGB和△PHE中，
??PGB＝?PHE?， ?PG＝PH??BPG＝?EPH?∴△PGB≌△PHE（ASA）， ∴PB=PE．
②连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°． ∵PE⊥PB即∠BPE=90°， ∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF． ∵EF⊥PC即∠PFE=90°， ∴∠BOP=∠PFE． 在△BOP和△PFE中，
??PBO＝?EPF???BOP＝?PFE ?PB＝PE?∴△BOP≌△PFE（AAS）， ∴BO=PF．
∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠BOC=90°， ∴BC=2OB． ∵BC=1，∴OB=∴PF=
2， 22． 22． 2∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．
同理可得：PB=PE，PF=2． 2（3）①若点E在线段DC上，如图1．
2024-2024备战中考数学提高题专题复习平行四边形练习题附详细答案
