时间 原料 原料A 原料B 则最短交货期为________个工作日． 答案 42
解析 最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．
19．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q(p≤q且p，q∈N)是正整数n的最佳分解时，p3134
我们规定函数f(n)＝，例如：f(12)＝.关于函数f(n)有下列叙述：①f(7)＝；②f(24)＝；③f(28)＝；
q47879
④f(144)＝，其中所有正确的序号为________．
16答案 ①③
1
解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①：∵7＝1×7，∴f(7)＝，①正确；对于②，∵24＝1×24
7424
＝2×12＝3×8＝4×6，∴f(24)＝＝，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝，③正
63712
确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f(144)＝＝1，④
12不正确．
1．观察下列各式：a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4，a＋b＝7，a＋b＝11，…，则a＋b＝( ) A．28 C．123 答案 C
解析 记a＋b＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a＋b＝123. 2．观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为( )
10
10
*
n
n
2
2
3
3
4
4
5
5
10
10
*
9 6 15 21 B．76 D．199
A．Sn＝2n－2n C．Sn＝4n－3n
22
B．Sn＝2n D．Sn＝2n＋2n
2
2
6
答案 A
解析 事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n＝2时，有S2＝4，分别代入即可排除B、C、D三项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即（n－1）（n－2）2为等差数列前(n－1)项和，即Sn＝(n－1)×4＋×4＝2n－2n.
23．观察下列各式：5＝3 125，5＝15 625，5＝78 125，…，则5A．3 125 C．0 625 答案 D
解析 ∵5＝3 125，5＝15 625，5＝78 125，5＝390 625，5＝1 953 125，5＝9 765 625，…，∴5(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴5
2 011
n
5
6
7
8
9
10
n
5
6
7
2 011
的末四位数字为( )
B．5 625 D．8 125
与5的末四位数字相同，均为8 125.故选D.
7
4．(2024·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为( ) A．(3，9) C．(3，10) 答案 D
解析 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.
5．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
B．(4，8) D．(4，9)
答案 A
解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形． 6．(2015·山东)观察下列各式： C1＝4； C3＋C3＝4； C5＋C5＋C5＝4； C7＋C7＋C7＋C7＝4； ……
照此规律，当n∈N时， C2n－1＋C2n－1＋C2n－1＋…＋C2n－1答案 4
n－1
0
1
2
n－1
*
0
1
2
3
3
0
1
2
2
0
1
1
0
0
＝________．
0
1
2
n－1
解析 由题知C2n－1＋C2n－1＋C2n－1＋…＋C2n－1
＝4
n－1
.
7
7．已知数列{an}为等差数列，则有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0. (1)若数列{an}为等比数列，通过类比，则有等式______；
(2)通过归纳，试写出等差数列{an}的前n＋1项a1，a2，…，an，an＋1之间的关系为________． 答案 (1)a1a2a3＝1，a1a2a3a4＝1，a1a2a3a4a5＝1 (2)Cna1－Cna2＋Cna3－…＋(－1)Cnan＋1＝0
解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由低一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．
???a，a≥b，?a－b，a≥b，
?8．对?a，b∈R，定义运算：a⊕b＝a?b＝?则下列判断正确的是________． ?b，a 0 1 2 n n －2 －3 3 －1 －4 6 －4 ①2 015⊕(2 014?2 015)＝2 014； ②(a⊕a)?a＝0； ③(a⊕b)?a＝a⊕(b?a)． 答案 ② 解析 对于①，由定义的运算可知，2 014?2 015＝2 015－2 014＝1， 故2 015⊕(2 014?2 015)＝2 015⊕1＝2 015，故①错误． 对于②，因为a⊕a＝a，故(a⊕a)?a＝a?a＝a－a＝0，故②正确． 由于③，当a≥b时，a⊕b＝a，故(a⊕b)?a＝a?a＝0， 而b?a＝a－b，故a⊕(b?a)＝a⊕(a－b)． 显然，若b≥0，则a≥a－b，所以a⊕(a－b)＝a， 若b<0，则a 9．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)． x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，?? 已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：?x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0， ??x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________． 答案 5 解析 由题意得相同的数字运算后结果为0，不同的数字运算后结果为1. 若后四位码元为1101，根据定义的运算，则有x4⊕x5＝1⊕1＝0，x4⊕x5⊕x6＝0⊕0＝0，x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0⊕1＝1，显然不符合方程x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，所以后四位码元出错． 同理，第2，3，6，7位码元依次为1001.假设这四位都正确，则x2⊕x3＝1⊕0＝1， 所以x2⊕x3⊕x6＝1⊕0＝1， 所以x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕1＝0， 显然满足校验方程组，所以这四位码元正确． * 8 故最后两位码元正确，出错的码元只能是第四位或第五位． 同理，第1，3，5，7位的码元依次为1011， 所以x1⊕x3＝1⊕0＝1，x1⊕x3⊕x5＝1⊕1＝0， x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0⊕1＝1，显然不满足校验方程组． 所以出错的码元是第5位，即k＝5. 10．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据： 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________． 答案 F＋V－E＝2 解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2. 11．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图． 易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)． (1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________； (2)照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为________． 3答案 (1)(14，13) (2)( n－1 ＋13－1* ，)(n∈N) 22 n－1 解析 (1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律：一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈，一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈，因此第4行的白圈个数为5×2＋4×1＝14，黑圈个数为5×1＋4×2＝13，所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为(14，13)． (2)第n行中的白圈和黑圈总数为3 n n n－1 个，设“坐标”为(an，3 n－1 n－1 －an)，则第n＋1行中的白圈和黑圈总数为 n－1 3个，设“坐标”为(an＋1，3－an＋1)＝(an＋33 得到第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为(，2×3 n－1 －an)，即a1＝1，an＋1＝an＋3 3?an＝ n－1 ＋1 ，从而2 n－1 ＋13－1* ，)(n∈N)． 22 n－1 12．(2017·北京，文)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． 9 ②该小组人数的最小值为________． 答案 ①6 ②12 解析 令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且x>y>z，①若教师人数为4，则4 13°＋cos2 17°－sin13°cos17°； ②sin2 15°＋cos2 15°－sin15°cos15°； ③sin2 18°＋cos2 12°－sin18°cos12°； ④sin2 (－18°)＋cos2 48°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin2 (－25°)＋cos2 55°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 答案 (1)34 (2)sin2α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34 解析 方法一：(1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos2 15°－sin15°cos15°＝1－1132sin30°＝1－4＝4. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34. 证明如下： sin2 α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2 α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2 －sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2 α ＝3232 34sinα＋4cosα＝4. 方法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34. 证明如下： sin2 α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos（60°－2α）2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－312 2sinαcosα－2 sinα ＝12－11133111132cos2α＋2＋4cos2α＋4·sin2α－4sin2α－4(1－cos2α)＝1－4cos2α－4＋4cos2α＝4 . 10
人教版2024高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第5课时合情推理与演绎推理练习理
