专题03 三角形的中线与面积
专题解读】在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．由“等底同高”可知，三角形的一条中线能把这个三角形分成面积相等的两部分．利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还可解决许多其他的等分点问题．反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的面积问题时，如果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形面积”这一性质，那么往往可以事半功倍．
思维索引
例1．(1)如图，△ABC中，D为AB的中点，E为DF的中点．
①作出△AED中的高AH；
②连接BF，当AH＝4，DF＝5时，求△BDF面积．
CFEA
(2)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒． ①当t＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
②当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC︰S△BPC＝ ； ③当t＝ 时，△BPC的面积为18．
AADBCBC备用图B
例2．如图1，在△ABC中，中线AM可以将△ABC分成两个面积相等的三角形，即S△ABM＝S△ACM．
(1)请在图2，图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD分成4个面积相等的小三角形； (2)如图4，在四边形ABCD的边上找到一点E，使得线段AE将四边形ABCD分为面积相等的两部分．
ABADBAADDBM图1CC图2C图3B图4C
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例3．(1)已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，P是AD上的一点，若△ABC的面积为s，
①当点P是AD的中点(即PD＝
1AD)时，△PBC的面积＝ (用含s的代数式表示)； 21②当PD＝AD时，△PBC的面积＝ (用含s的代数式表示)；
3③当PD＝
1AD时，△PBC的面积＝ (用含s、n的代数式表示)． nAPBDC
(2)如图，△ABC的面积为12cm2．D是AB边的中点，E为AC边上一点，且AE＝2EC．O为DC与BE的交点．若△DBO的面积为acm2，△CEO的面积为bcm2，求a－b．
ADOBEC
例4．(1)如图1，在△ABD中，BE是△ABD的中线，则有S△ABE＝ S△ABD．
(2)在四边形ABCD中，E是AD边上的动点，分别连接AC、BD、EB和EC，设△EBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，△DBC的面积为S3． ①如图2，当AE＝②如图3，当AE＝
1AD时，试探究S1，S2，S3之间的关系，并写出求解过程； 21AD(n表示正整数)时，试探究S1，S2，S3之间的关系． n(直接给出答案，不必求解过程)
BAEDAEDAE图1DB图2CB图3C
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素养提升
1．如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且S?BEF?4cm2，则S?ABC为（ ）
A.1cm2 B. 2cm2 C. 8cm2 D. 16cm2
2．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△BEF的面积分别为
S?ABC,S?BEF，且S?ABC?12，则S?BEF?（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点F，已知FB=FD，FC=2FE.若△BFC的面积为2，则四边形AEFD的面积等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
AAEFAEFDCDFBECBDB
第1题图 第2题图 第3题图
C
4．如图，△ABC三边的中线AF，BD，CE的公共点为G，若S?ABC?12，则图中△BEG与△CDG的面积和是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
AAAEGBFDE8440G30D35DFCB
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，G为△ABC内一点，连接AG、BG、CG并延长分别交边BC、AC、AB于点F、D、E，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC的面积为（ ） A．300 B．315 C．279 D．342
6．如图，AE、BD是△ABC的两条中线，AE、BD交于F，则△BEF和△AFD面积的大小关系是_______________.
7．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点G，GF⊥BC，且AB=6，BC=5，AC=3，GF=2，则四边形ADGE的面积是_________.
8．如图，在△ABC中，点D是BC边上任意一点，点F是线段AD的中点，点E、点G分别为BF与CF的中点，则S四边形EFGD:S?ABC=_____________.
9．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为12cm2，则△ABF的面积为___________cm2.
FCBEC ()
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题03 三角形的中线与面积
