导数一模汇编 2020.5
1.DC（本小题15分）
已知函数f(x)?x(lnx?ax)(a?R).
（Ⅰ）若a?1，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若a?1，求f(x)在区间?0,2a?上的最小值. 解：（Ⅰ）当a?1时，f?(x)?lnx?2x?1，
所以f?(1)??1. 又因为f(1)??1，
所以 切线方程为y?1???x?1?，即x?y?0.
（Ⅱ）f?(x)?lnx?2ax?1， 设 g(x)?lnx?2ax?1，
当a≤0时,易证g(x)在?0，+??单调递增，不合题意. 当a?0时 g??x??1?2a， x1， 2a令g??x??0，得x??1??1?当x??0,?时，g??x??0，g?x?在?0,?上单调递增，
?2a??2a??1??1?当x??,+??时，g??x??0，g?x?在?,???上单调递减，
?2a??2a?所以 g?x?在x?11?1?处取得极大值g???ln.
2a2a2a??依题意，函数g?x??lnx?2ax?1有两个零点，
11?1??1， 则g???ln?0,即
2a2a?2a?解得 0?a?1.2
1?21111?1?又由于?1?，g??=?2a??0，e2a?，
e2ae2a?e?由ex?x2?1(x?0)得
g(e1?22a1?211?1?)??2?2a?e2a?1??2?2a??(?2)2?1??1??1?10a?02a2a?2a?实数a的取值范围为0?a?1时，f?x?有两个极值点. 211?1??ln?0， （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a?1时， g(x)?g???ln2a2?2a?所以f?x?在(0，+?)上单调递减，
f?x?在区间?0,2a?上的最小值为f(2a)?2a(ln2a?2a2). 2.CY已知函数f?x??ex?x?1x?1．
（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）判断函数f(x)的零点的个数，并说明理由；
x（Ⅲ）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y?ex在点(x0,e)处的切线也是曲线
0y?lnx的切线．
解：（Ⅰ）因为f?x??ex?x?1x?1，
所以f(0)?e0?0?10?1x?2，f??x??e?2(x?1)20，f?(0)?e?2(0?1)2?3．
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为3x?y?2?0． （Ⅰ）函数f(x)有且仅有两个零点．理由如下：
f(x)的定义域为{x|x?R,x?1} ．
x因为f'(x)?e?2?0， 2(x?1)所以f(x)在(??,1)和(1,??)上均单调递增．
1因为f(0)?2?0，f(?2)?e?2??0，
3所以f(x)在(??,1)上有唯一零点x1．
55因为f(2)?e?3?0，f()?e4?9?0，
42所以f(x)在(1,??)上有唯一零点x2． 综上，f(x)有且仅有两个零点．
（Ⅰ）曲线y?ex在点(x0,ex)处的切线方程为y?ex?ex(x?x0)，即
000y?ex0x?x0ex0?ex0 ．
设曲线y?lnx在点(x3,y3)处的切线斜率为ex，
0
x则e0?111，x3?x0，y3??x0，即切点为(x0,?x0)． x3ee1,?x0)处的切线方程为 x0e所以曲线y?lnx在点(y?x0?ex0(x?1y?ex0x?x0?1． )x0，即ex0?1x0?1x因为x0是f(x)的一个零点，所以e0?．
xxx所以?x0e?e?e(1?x0)?000x0?1x0?1(1?x0)??1?x0．
所以这两条切线重合． 所以结论成立． 3.HD （本小题共15分） 已知函数??(??)=????+???? （I）当??=?1时，
①求曲线??=??(??)在点(0,??(0))处的切线方程； ②求函数??(??)的最小值；
（II）求证：当??∈(?2,0)时，曲线??=??(??)与??=1???????有且只有一个交点。 解：（Ⅰ）①当a??1时，f(x)?ex?x，则 f?(x)?ex?1．
所以f'(0)?0. 又f(0)?1， 所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1 ②令f'(x)?0，得x?0. 此时f?(x)，f(x)随x的变化如下： 可知x f?(x) (-?,0) 0 (0,+?) - 0 极小值 + f(x)min??0 ??1f(fx)↘ ↗ ，函数f(x)的最小值为1.
（Ⅱ）由题意可知，x?（0,??). 令g(x)?ex?ax?lnx?1，则g'(x)?ex??a． 由（Ⅰ）中可知ex?x?1，故 ex?1?x．
1x因为a?（?2,0)，
则g'(x)?ex??a??x?1???a
?2x?1?a?1?3?a?0． x1x1x所以函数g(x)在区间(0,??)上单调递增．
111ae因为g()=e+-2 ee又因为g(e)=ee+ae>e2-2e>0， 所以g(x)有唯一的一个零点. 即函数y?f(x)与y?1?lnx有且只有一个交点. 4.MTG（本小题满分15分）已知函数f(x)?sinx?lnx?1。 ??（Ⅰ）求f(x)在点（，f())处的切线方程； 22（Ⅱ）求证：f(x)在(0,?)上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数f(x)在(0,2?)上的零点个数。 解析：含有三角函数的导数问题 （I）??(2)=1+????2?1=????2··············1分 ??′(??)=????????+?????′(2)=??···················3分 所以，??(??)在点(,??())处的切线方程 2 2?? ?? 1 ?? 2 ?? ?? ?? 为??=????2=??(???2)???=????+????2?1···········5分 （II）证明：??′(??)=????????+??， 设??(??)=??′(??)=????????+?????′(??)=????????????2<0··········7分 1 1 1 ??2??2??
2020年北京各区高三导数汇编
