直线的交点坐标与距离公式
3．3.1&3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离
预习课本P102～105，思考并完成以下问题 1．怎样求两条直线的交点坐标？ 2．怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系？ 3．两点间距离公式是什么？
1．两直线的交点坐标 (1)两直线的交点坐标：
几何元素及关系 代数表示 [新知初探]
点A 直线l 点A在直线l上 A(a，b) l：Ax＋By＋C＝0 Aa＋Bb＋C＝0 ??A1x＋B1y＋C1＝0，方程组? ?A2x＋B2y＋C2＝0? 直线l1与l2的交点是A ??x＝a，的解是? ?y＝b? (2)两直线的位置关系
?A1x＋B1y＋C1＝0?方程组?的解 ?Ax＋By＋C＝0?222 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 直线l1与l2的位置关系
2．两点间距离公式
一个 相交 无数个 重合 零个 平行 (1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[点睛] (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为a－b( ) (2)不论m取何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交( ) 答案：(1)× (2)×
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( ) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 解析：选C ∵|AB|＝?a＋2?2＋?3＋1?2＝5， ∴a＝－5或a＝1.
3．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________． k
解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，
3k
0，?代入x－ky＋12＝0，解得k＝±将?6. ?3?答案：±6
两条直线的交点问题
[典例] 求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
???2x－y＋2＝0，?x＝－1，
?[解] 法一：(点斜式法)解方程组得?所以两直线的交点坐?x＋y＋1＝0，???y＝0，
标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.
法二：(分离参数法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0 ①，
λ＋21
又直线l的斜率为3，所以－＝3，解得λ＝，
4λ－11
将λ＝代入①，整理得3x－y＋3＝0.
4 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
[活学活用]
三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．
???4x＋y＝14，?x＝4，
解：解方程组?得?
?2x－3y＝14，???y＝－2，
所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．
由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋73
＝0，解得a＝－.
4
两点间距离公式
[典例] (1)已知点A(－3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为72，求x的值． [解] (1)设点P的坐标为(x,0)，则有 |PA|＝ |PB|＝
?x＋3?2＋?0－4?2＝ ?x－2?2＋?0－3?2＝
x2＋6x＋25， x2－4x＋7.
由|PA|＝|PB|，
9
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
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－，0?. 故所求点P的坐标为??5?
|PA|＝
?－9＋3?2＋?0－4?2＝2109.
?5?5
(2)由|MN|＝72， 得|MN|＝
?x－2?2＋?－4－3?2＝72，
即x2－4x－45＝0， 解得x1＝9或x2＝－5. 故所求x的值为9或－5. 若已知两点的坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．
[活学活用]
已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵|AB|＝ |AC|＝ |BC|＝
?－4＋2?2＋?－3＋1?2＝22，
?0＋2?2＋?－5＋1?2＝25， ?0＋4?2＋?－5＋3?2＝25，
∴|AC|＝|BC|.
又∵点A，B，C不共线， ∴△ABC是等腰三角形.
新课标三维人教A版数学 直线的交点坐标与距离公式
