中考数学复习指导：探讨中考数学最值问题的解题思路与策略.doc

由天下分享时间：2025/6/4 14:41:18 加入收藏我要投稿点赞

探讨中考数学最值问题的解题思路与策略

本文以i道屮考题为例，与各位共同探讨最值问题的解题思路与策略. 一、注重分析，讲究方法

最值问题是初中数学中的难点之一我们在分析解答吋要特别注重分析已知条件，紧扣已有的知识经验，力求做到思路清晰，水到渠成.

【试题呈现】

已知点D与点4(8,0), 5(0,6), C(a-a)是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为【分析】

1、由动点C(a-a) 推导得到〉定直线y = -x.( “点动成线”)

感悟1：动点Qd—2。+ 1)卅抽到〉定直线y = -2兀+ 1. 感悟2：动点Q(d — l,2d + l) 血刊利〉定直线y = 2x + 3

2、由定直线y =

特殊角)

推劇到＞定角度

45。.(一次函数k系数为士 1时，可能出现45。

感悟3：由定直线歹=±止兀+加推导得创〉定角度30。或60。?

3、已知两个顶点如何作平行四边形？

情形一：如图1,两顶点的连线段作为平行四边形的边，使点B落在直线y = -x上的点C处，点4落在点D处，连结CD,易得43 = 10,所以CD = IO.

情形二：如图2,两顶点的连线段作为平行四边形的对角线，在直线丁 = -兀上，取点C. 如何确定点

D?方法一是平移线段BC,使点C与点A重合，得线段4D;方法二是连结线段AB,取线段中点E；连结CE

并延长一倍至点D,连结AD. BD.

【解答】

方法一如图3,要使得CD的长最小，只要CE长最小.点￡是定点，点C是直线y =

上的动点，所以，当CE丄直线），= —兀时，CE长最短?作EH丄直线y =-兀于H点，易

得,EGC*,EG\则吩冬所以CD长的最小值为迈

图3

图°

方法二如图4,作丄直线）=-兀于H点.设直线EH的解析式为y二兀+ b,把兀=4,〉，= 3代入y = x + b,

得到直线EH的解析式为y =兀一1,与直线y二一兀的交点H

坐标为（+，-舟）?

又因为点E的坐标为（4,3）,所以EH二巫,所以CD长的最小值为70.

方法三如图5,平移线段BC ,使点C与点A重合，得线段4D；设点C的坐标为

（⑦-G）,根据坐标平移的规律，得到点D的坐标为（8-67,6 + 67）.所以

CD =(8-2a) + (6 + 2Q)2 = 8a-8a + 100 = 8(°--)+98 ,所以 CD 长的最小值为 2

2222

7妊

方法四如图6,作3M丄直线y =-兀于M点;作AN丄直线y = 于N点.由梯形

的中位线定理，得到2EH = BM十AN ,而BM =3迈,AN = 4迈,所以匹,

所以CD长的最小值为142.

二、最值问题的其它儿种方法

1?“作对称”转化最值

Q Q

如图7,在直线加上确定点C使得AC + BC最短; （拓展）

① 图8,在射线比上确定点C,射线加上确定点D,使得AC + CD-^-DB最短; ② 如图9, ZPOQ = 30° ,点A是OP上的定点,OA = 8,在边OP,OQ±分别确定点

B,C ,使得AB + BC最短，求这个最短距离;

③ 如图10, ZPOQ = 20°,点4是OP上的定点，OA = 8,在边OQ上确定点B,D, 在OP上确定点

C,使得AB^BC + CD最短，求这个最短距离.

2、取中点转化最值

如图11, AMON = 90° ,矩形ABCD的顶点分别在边OM,CW上?当点B在边 ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中 AB = 2,BC = 1,运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________________________________________________________ ?

（分析解答）

取线段AB的屮点E,连结OE,ED,这样就将线段最短问题转化成了三角形三边关系的应用，可得OD

大值等于V2 + 1.

〔拓展）

如图12,已知\\ABC是边长为4的等边三角形，分别是兀y轴上的动点，点C在第一彖限内，在AB的运动过程屮，则线段0C的最大值为 ____________________ .

3、添辅助圆转化最值

如图13,在边长为2的菱形ABCD中，ZA = 60°，点M是AD边的中点，点N是A3 边上一动点?将AAMW沿所在的直线翻折得到AA'MV,连结A'C,则A'C长度的最小值是 ?

〔分析解答）

取线段43的中点E,连接OE,ED,这样将线段最短问题转化成了三角形三边关系的

应用，可得O D

O的距离最大?可得A'C长度的最小值是V7-1.

4、三角函数值转化最值