圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第4篇 多变量微积分学
第1部分 多元函数的极限论
第13章 多元函数的极限与连续
1．判断（1）（2）
是否存在；若极限存在，则求其值：
解：（1）当0＜x＜ε/2，0＜y＜ε/2时，
所以
（2）令y＝mx，则
当（x，y）沿直线y＝mx趋近点（0，0）时，所求的极限值与m有关，因此
不存在．
2．求
解：令x＝rcosθ，y＝rsinθ（极坐标），则
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台上界与θ无关．令r→0可知所求极限等于0．
3．试证明：函数
在整个上连续并且可微．
上连续；而当（x，y）≠（0，0）时，∣f（x，y）
上连续．
证明：显然f在
－f（0，0）∣＝∣f（x，y）∣≤∣xy∣，因而f在（0，0）连续．于是f在整个
当（x，y）≠（0，0）时，
都是连续函数，所以f（x，y）在算出
可微．
当（x，y）≠（0，0）时，由可知
因此
列方法直接推出：因为
在（0，0）连续，从而f在（0，0）也可微．这也可按下
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所以
圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台从而f在（0，0）可微，且f（全）微分等于0．
4．设函数f（x）在[0，1]上连续且f（x）＞0，讨论函数
在（－∞，＋∞）上的连续性．
解：若y≠0，则当x∈[0，1]时，被积函数是y的连续函数，所以g（y）连续．或者：作代换x＝ty得
因为t的函数
续，所以g（y）连续．
下面考虑a（y）在y＝0的连续性．若y＞0，则
在[0，1/y]上连续，积分限1/y关于y连
其中m是f（x）在[0，1]上的最小值，且依假设知m＞0，于是当y＞0时，
因此y＝0不连续．
但g（y）＝0，故g（y）在
5．证明：对于函数有
然而不存在．
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台证明：
如果按y=kx→0的方向取极限，则有
特别地，分别取k=0及k=1，便得到不同的极限0及1．因此，
不存在．
6．若问下列极限沿怎样的方向φ有确定的极限值存在：
解：（1）
于是，仅当即时，所给的极限才有确定的值．
当时，有界，除外无极限．且
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台于是，仅当以及时才有确定的极限．
7．讨论下列函数在指定点的重极限，累次极限：
解：（1）累次极限存在：
而对两点列，有
这说明重极限不存在．
（2）注意到
累次极限均为0．但是因为限不存在．
（3）注意到限不存在．此外，因为有
，所以
，故知两个，所以重极
，故知累次极
8．试证明下列极限等式：
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复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-多元函数的极限论【圣才出品】
