全国高中数学联赛模拟试题（一） 新人教A版
一、 选择题：（每小题6分，共36分） 1、
方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5 2、
x2函数y?（x∈R，x≠1）的递增区间是
x?1（A）x≥2 （B）x≤0或x≥2 （C）x≤0 （D）x≤1?2或x≥2 3、
过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0 4、
??0,若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在???上有两个不同的实数解x，则
?2?参数a的取值范围是
（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、
数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51 6、
在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3
＜a4，a4＞a5的排列的个数是
（A）8 （B）10 （C）14 （D）16
二、 填空题：（每小题9分，共54分）
用心 爱心 专心
1
1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x是 ．
2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝ ． 3、数799被2550除所得的余数是 ． 4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝
?35，则cosC＝ ． 13125、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin
和cos，则的取值范围是 ．
2n6、数?5?24?（n∈N）的个位数字是 ． 三、 （20分）
已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．
求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．
四、 （20分）
（1） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根
皆为整数．
（2） 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．
五、 （20分）
试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2
≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何有cos2
＋xcos＋y≥0}之中．
用心 爱心 专心
1
∈R，都
第二试
一、（50分）
设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0． 求证：a2?b??a?c?zac?b?1的充分必要条件是(a－c)2
＋4b≤0．
二、（50分） 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，DA 是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别P K Q 向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，B D C 两条直线CP与BQ相交与点K．求证： （1） AK⊥BC；
（2）
AK?AP?AQ?2S△ABCBC，其中S△ABC表示△ABC的面积．
三、（50分）
给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：
?nai?4(j?1,2,i?1i?j2j?13,?,n)． 确定和式nS??aii?12i?1的值（写成关于n的最简式子）． 参考答案
用心 爱心 专心
1
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