3.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。 例题：求方程
的通解.
解答：此方程的特征方程为： 它有两个不相同的实根
，因此所求的通解为：
二阶常系数非齐次线性方程的解法
我们来学习二阶常系数线性非齐次方程
的求解方法.由前面我们知
道线性非齐次方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方程的通解的解法，现在的关键是怎样求得特解。 二阶常系数非齐次线性方程的解法
常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为：
下面我们根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式： （1）：设 若
，其中μ为一常数，
为零次多项式，此时：
a):当μ不是特征方程的根时，可设 b):当μ是特征方程的单根时，可设 c):当μ是特征方程的重根时，可设 若
为一m次多项式，即：μ=0，此时
a):当a2≠0即μ=0不是特征方程的根时，可设
b):当a2=0，a1≠0时，即μ=0是特征方程的单根时，可设
c):当a2=0，a1=0时，即μ=0是特征方程的重根时，可设
例题：求方程
的一个特解
解答：对应的特征方程为 原方程右端不出现
，但可以把它看作是
，即μ=0
因为μ=0不是特征方程的根，所以设特解为 代入原方程，得
于是： 故所求的特解为：
（2）：设
此时的特解为： 例题：求方程
解答：显然可设特解为：
的特解
或
，其中a,μ,v为常数。
代入原方程得：
由此得：
A=-1 从而原方程的特解是
十、无穷级数
级数的概念及其性质
我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念
设已给数列a1,a2,…,an,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+an+…称为无穷级数，简称
级数.记作：的通项.
或，即：=a1+a2+…+an+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，an称为级数
取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，… 这个
数列的通项Sn=a1+a2+…+an称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.
证明：
当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1. 级数的性质
1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项an当n→∞时趋于零，即：
注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数且它的和是cS.如果
收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数
发散，那末当c≠0时
也发散。
，也是收敛的，而
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。 注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题
对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项an≥0的级数）的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理
定理：正项级数无穷大。
收敛的充分与必要条件是部分和Sn上有界.如果Sn上无界，级数发散于正
例如：p级数：
注意：在此我们不作证明。 正项级数的审敛准则 准则一：设有两个正项级数敛；如果
发散，那末
及也发散.
，当p>1时收敛，当p≤1时发散。
，而且an≤bn(n=1,2,…）.如果收敛，那末也收
例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数
是收敛的
准则二：设有两个正项级数同时发散。
关于此准则的补充问题
与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者
如果也发散.
，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，
例如：是收敛的.因为，而是收敛的.
注意：以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性，都需要另选一个收敛或发散的级数，以资比较.下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则.
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