z =常数：与z轴垂直的平面族.
因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。 柱面坐标系下三重积分的计算公式为：
此处我们不在举例。
九、常微分方程
微分方程的基本概念
在许多科技领域里，常会遇到这样的问题：
某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子：
例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程
解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程：
解。
微分方程的概念
我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求
我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。
从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间
上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解.
满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。
通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同.
可分离变量的微分方程与齐次方程
下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。
并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。
可分离变量的微分方程 这种方程的形式为：
我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后，得
，右端是什么也求不出的，所以求不出y来。
其正确解法为：设y=y(x)为所求的解，于是当y=y(x)时，有
，即
这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。 例题：求方程
的通解。
解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得
两端分别积分，得
令
，得
齐次微分方程
这就是该方程的通解。
这种微分方程的形式为：
它也不能由两端积分求解。其求解步骤为：
令，则，y的微分方程就化成了u的微分方程 即：
这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。
例题：求方程的特解。
解答：这是一个齐次方程。令y=ux代入，得
分离变量后，得
两端分别积分，得
或 其中
代回u=y/x，得原方程的通解为 将初始条件y(0)=1代入，得 C=1.
所以满足初始条件的特解为
线性微分方程
线性微分方程
这种微分方程的形式为：
，其中，p,q与y,y'无关，但可以与x有关.它对y
与y'而言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。
当q=0时称为齐次线性微分方程；当q≠0时称为非齐次线性微分方程。 齐次线性微分方程的解法 齐次线性微分方程的形式为：
此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得：所学的方法进行求解。
，这就可以由我们前面
例题：求的一般解。
解答：由此方程可得，故
因此该方程的一般解为：非齐次线性微分方程的解法 非齐次线性微分方程的形式为：
这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程的一般解，
然后把c看作x的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定c，使它能满足非齐次微分方程。
中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项：
，所以
中c作为x的函数代入微分方程就得到
.
所以只要，即
为所求的一般解。
就可使非齐次线性微分方程得到满足，即
上面我们说学的这种解法被称为Lagrange常数变易法。
例题：求解
的一般解为：
解答：相应齐次线性微分方程
把c看成x的函数代入得：
因此：c'=x(x+1)
∴
故：就是非齐次线性微分方程的一般解。
可降阶的高阶方程
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y\
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
再次积分，即可求出方程得通解。
，
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