应用MATLAB的一个例子
——数学也是一门技术
王天顺 整理
本来想用 “数学也是一门技术”作题目，主要是基于两点，一是从数学的应用角度，它的确具备了作为一门技术的特征，这也就是今天我要通过一个例子要表达的；二是咱们在座的大多数都是从事职业教育的老师，不知道我理解得是不是正确，职业教育与普通教育的区别是较为侧重于教授技术，我主观上感觉这个题目和大家的关系更紧密一些。但是，这个题目有点太大了！和领导商量了一下还是换个题目吧。
首先可以证明：数学确是一门技术，比如说要从技术的定义入手，流行的做法是：查查《辞海》，查查相关的如《科学学辞典》和《科技辞典》等等，看看他们是怎样给技术定义的；其次，论述一下数学的确是符合这些定义的。
实际上，我也确实查阅过这些资料，可以说没有问题，一定可以找到证据证明这个论断！ 注：“技术”一词的中文解释有两种，一种是以《辞海》为代表的解释，把技术定义为：（1 ）泛指根据生产实践经验和自然科学原理而发展成的各种工艺操作方法与技能；（2）除操作技能外， 广义的还包括相应的生产工具和其他物质设备，以及生产的工艺过程或作业程序、方法。另一种是以《科学学辞典》和《科技辞典》为代表的解释，把技术定义为：是为社会生产和人类物质文化生活需要服务的，供人类利用和改造自然的物质手段、智能手段和信息手段的总和。
可见， “技术”一词所包含的内容除了有形的物化形态之外，还包括无形的智能形态方面。无形的智能形态的技术是客观存在的，在某种意义上说，这方面技术的作用并不亚于物化形态的技术，更不能为物化形态技术所取代（背景资料）。因此，有关“技术”的涵义，有人概括为：指的是有形的物化技术和无形的智能技术的总和。
当然，容易想到我们把数学看作一门技术，可能更多的是从技术的无形“智能形态”角度论述的。我想这只是他的一个方面，今天先给各位介绍的是一个例子，展现他的另一个方面，用数学（包括相关的软件）去解决一个实际问题，其过程就像“传统的”、物化形态的技术一样；其次，结合上述例子，探讨有关数学建模及相关培训指导工作的一般原则和步骤，谈一点个人对此项工作的认识；最后，介绍我校的这些年数学建模培训工作的一些具体做法。
一、足球比赛中的吊门问题
1. 问题：只考虑如下的因素：球与球门的距离为a，守门员与球门的距离为b（假设在调
门过程中，守门员不能移动），球门高h，守门员最大摸高H，球出脚的初速度为v0，与水平方向的夹角为?（称为初射角）．针对下列数据求能吊门成功的?，h=2.44m，H=3.20m，v0?30m/s，重力加速度g=10m/s2，针对下列几组数据分别给出具体能吊门成功的相应初射角范围，要求精度在小数点后第4位。 （1） a=6m，b=1m； （2） a=10m，b=3m； （3） a=20m，b=5m； 2. 问题分析 （1） 在不考虑空气阻力的情况下，抛射体的运动轨迹是抛物线：
??
y(x)?xtan??gx2 222vcos?想象一下，只要角度合适，一般情况下应该吊门成功，但是如何去找合适的范围呢？ （2） 这不同于找一个角度值（注，并不是归结为求一元二次方程的根！，因为这里是求?，
而不是求x，所以是一般的非线性方成），而是一个范围！当然，也可把问题整理成两个方程求根问题：一个方程是求吊门成功的最小角度，一个方程是球吊门成功的最大角度（注意，有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门的情况）。 （3） 有了使用方便的数学软件，可以先进行分析并将分析过程直观显示。
I. 对于第一组数据，吊门成功的最小角度1.53697（为弧度，下同），对应的时间大
约在4.9281秒，最大角度1.53787，对应的时间是5.0627秒，相比球与守门员及与球门的距离，显然守门员有足够的时间移动，因此调门是不会成功的！这显然是因为，三者之间的距离导致，要想吊门成功，就必须角度很大，运行时间很长！ v=30;g=10; h=2.44;H=3.2; a=6;b=1;
l=a-b;L=a*1.1; x=0:0.01:L;
for alpha=1.5368:0.00001:1.538 [y,tfinal]=paosheti1(x,alpha,v,g); tH=l/(v*cos(alpha));
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on, plot(x,y),grid, hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,... ' 守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause end
II. 同上，对于第二组数据，吊门成功的最小角度1.51437，对应的时间大约在4.1374
秒，最大角度1.51587，对应的时间大约在4.2503秒。 v=30;g=10; h=2.44;H=3.2; a=10;b=3; l=a-b;L=a*1.1; x=0:0.01:L;
for alpha=1.5138:0.00001:1.5164 [y,tfinal]=paosheti1(x,alpha,v,g); tH=l/(v*cos(alpha));
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on, plot(x,y),grid, hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,... ' 守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause end
III. 对于第三组数据，吊门成功的最小角度1.45718，对应的时间大约在4.4103秒，最
大角度1.46022，对应的时间大约是4.531秒。
v=30;g=10; h=2.44;H=3.2; a=20;b=5; l=a-b;L=a*1.1; x=0:0.01:L;
for alpha=1.4566:0.00001:1.4605 [y,tfinal]=paosheti1(x,alpha,v,g); tH=l/(v*cos(alpha));
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on, plot(x,y),grid, hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,... ' 守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause end
IV. 其中用到的函数如下
function [y,t]=paosheti1(x,alpha,v,g)
y=x*tan(alpha)-x.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2); t=2*v*sin(alpha)/g; xmax=v*cos(alpha)*t; n=length(x); for i=1:n
if y(i)<0
xx=x(i)-xmax;
y(i)=xx*tan(alpha)-xx.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2);
end end
3. 问题假设 （1） 不考虑空气阻力；要考虑！ （2） 不考虑守门员在球运行过程中的移动；考虑，这可能使这些假设中最易考虑的！ （3） 球落地是完全弹性的（解释与（5）不矛盾），只考虑仅有一次触地反弹的情况； （4） 只考虑越过守门员头顶的吊门，即出球点与守门员连成一线延伸到球门这样一个直线
方向，不考虑从守门员侧面吊门的情况； （5） 将球看作是数学上的一个点； （6） 不考虑球的旋转，实际比赛时，旋转是很重要的！ （7） 球的质量为一个单位。 4. 问题求解 （1） 当水平路程达到球门时，只要竖直方向小于球门高度，列出相应的角度值满足的方程，
解之即可得到。下面的步骤就不细说了，是一个典型的非线性方程求根问题，但应该指出，前面的分析过程也还是有一定的指导意义，如对根的初步位置（实际上可以得到相当精度的根的位置）的判断；补充用牛顿迭代法求此根！ （2） 由于列方程求解通常也需要做近似计算（如开方等），得到的结果也是近似的！从这
个意义上说，前面用来分析的方法实际上也是一个好的求解方法。此时，取适当小的扫描步长，可视精度要求而定，当然某些环节是用肉眼观察得到的。此处可取步长为0.00001或0.00002；
10909-数学建模-应用MATLAB建模的一个例子
