【解答】解：根据题意，设g（x）＝xf（x），（x＞0），
则导数g′（x）＝（x）′f（x）+xf′（x）＝xf′（x）+2xf（x）；
函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有xf′（x）+2xf（x）＞0， 则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
?（x+2018）fx+2018）＜3f（3）?g（2018）＜g（3），
2
2
2
2
2
2
2
则有0＜x+2018＜3，
解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；
即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}； 故选：D．
12．若函数f（x）＝ax+2x+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（ ） A．a＞﹣
B．a2
3
2
C．﹣ D．
【解答】解：f′（x）＝3ax+4x+1，x∈（1，2）．
a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a≠0时，△＝16﹣12a．
由△≤0，解得
，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
，x2＝
．
由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1＝当去．
时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍
当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax+2x+x+1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f′（x1）＝0，∴1＜解得：
＜a＜﹣．
＜a＜﹣．
＜2，a＜0．
32
综上可得：故选：C．
二．填空题（共4小题） 13．解：（x﹣可得常数项14．将数列{3
）的展开式的通项公式为Tr+1＝
6
（﹣2）?x?
r6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，
?4＝60，
n﹣1
}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中
的第一个数是 3
4950
．
＝4950个数，
4950
【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99＝则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即3故答案为：3 15．定积分
（
（
﹣x）dx等于
﹣x）dx＝
．
4950
．
．
【解答】解：＝由y＝∴∴故答案为：
dx﹣xdx＝dx﹣
dx﹣，
，则函数y＝
表示以（1，0）为圆心，半径r＝1的圆的， ， ，
dx＝dx﹣＝
．
2
16．已知函数f（x）＝（x+a）+（e+），若存在x0，使得f（x0）
x2
，则实数a的值为 ．
【解答】解：函数f（x）＝（x+a）+（e+），
函数f（x）可以看作是动点M（x，e）与动点N（﹣a，﹣）之间距离的平方， 动点M在函数y＝e的图象上，N在直线y＝x的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y＝e得，y′＝e＝，解得x＝﹣1，
所以曲线上点M（﹣1，）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝
，
xxxx2x2
则f（x）≥，
，则f（x0）＝
，
根据题意，要使f（x0）≤
此时N恰好为垂足，由KMN＝＝﹣e，解得a＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且（1）设复数z1＝（2）设复数z2＝
，求|z1|；
，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
为纯虚数（是z的共轭复数）．
【解答】解：∵z＝1+mi，∴＝1﹣mi．
∴?（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i． 又∵?（3+i）为纯虚数， ∴
，解得m＝﹣3．
∴z＝1﹣3i． （1）z1＝∴|z1|＝
；
＝﹣﹣i，
（2）∵z＝1﹣3i， ∴z2＝
＝
，
又∵复数z2所对应的点在第一象限， ∴
，解得：a＞．
18．【解答】证明（1）要证明只要证只要证（只要证13+2只要证
2
2；
2）＞（13+2
，
2，
），
2
即证 42＞40． 而 42＞40 显然成立，故原不等式成立 （2）证明：假设
，
，
为同一等差数列的三项，
则存在整数m，n满足
md① nd②
①×n﹣②×m得：
nm
（n﹣m）
两边平方得：3n+5m﹣2
22
mn＝2（n﹣m）2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确． 故
19．已知数列{an}满足：nan+1＝（n+2）（an﹣1），且a1＝6． （1）求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； （2）试用数学归纳法证明上述猜想．
解：（1）由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，可猜想an＝（n+1）（2n+1）＝2n+3n+1． （2）下面用数学归纳法证明猜想成立． ①当n＝1时，猜想显然成立；
②假设n＝k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即则n＝k+1时，由kak+1＝（k+2）（ak﹣1）可得＝2（k+1）+3（k+1）+1， 即：当n＝k+1时，猜想也成立， 由①②可知，当n∈N+时，an＝2n+3n+1． 20．已知函数
．
2
2
2
，，不能为同一等差数列中的三项
，
＝
＝（k+2）（2k+3）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b＞a． 【解答】解：（1）∴当x＞e时，当0＜x＜e时，
，∴，∴函数，∴函数
在
上是单调递减．
ab在（0，e）上是单调递增．
．
b∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是（2）证明：∵b＞0，a＞0∴要证：b＞a， 只需证：alnb＞blna． 只需证由（1）得函数∴当a＞b＞e时，有
．（∵a＞b＞e） 在
aba上是单调递减． ，即
．得证．
21．（1）设
中的x项的系数． （2）若
展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B＝272，求展开式
展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？
nn【解答】解：（1）二项式和为B＝2，
n展开式中的各项系数之和为A＝（3+1）＝4，各项的二项式系数之
若A+B＝4+2＝272，∴2＝16，求得n＝4，
nnn故展开式中的x项为（2）若故
＝
?＝108x，故展开式中的x项的系数为108．
+
2r﹣12
展开式前三项的二项式系数和等于79，即
的展开的通项公式为Tr+1＝
?2
+
r＝1+n+＝79，求得n＝12，
?x，
令，求得≤r≤，∵r为整数，∴r＝10，
故展开式系数最大的项为第11项，即 T11＝ 22．设函数
．
?2?x＝16896x．
81010
（Ⅰ）求函数单调递减区间；
，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）若函数G（x）＝f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所以
由F'（x）＜0，解得
综上所述，F（x）的递减区间为（Ⅱ）由题可知（1）当a＝0时，
或
和，所以
．
．
．
，则G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以
G（x）在R上没有极小值，故舍去；
辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(含答案)
