初一数学竞赛讲座(三)
数字、数位及数谜问题
一、知识要点
、整数的十进位数码表示
一般地，任何一个位的自然数都可以表示成：
其中， (，，…，)表示数码，且≤ ≤， ≠.
对于确定的自然数，它的表示是唯一的，常将这个数记为
、正整数指数幂的末两位数字
(1) 设、都是正整数，是的末位数字，则的末位数字就是的末位数字。 (2) 设、都是正整数，是任意正整数，则 的末位数字与 的末位数字相同。
、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。
二、例题精讲
例、有一个四位数，已知其十位数字减去等于个位数字，其个位数字加上等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于，求这个四位数。
分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。
解：设所求的四位数为???，依题意得：
(???)( ???) ∴ () ?() ?() ? ()
比较等式两边首、末两位数字，得 ，于是 又∵，，∴
从而解得：，，， 故所求的四位数为
评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。 例
一个正整数的各位数字不全相等，如果将的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数，则称为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。
分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。
解：设是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为、、(、、不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得个三位数：中的最大数为
，则最小数为
。由“新生数”的定义，得
，不妨设其
由上式知为的整数倍，这样的三位数可能为：，，，，，，，，。这个数中，只有符合条件。
故是唯一的三位“新生数”
评注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。
例 从到，其中有多少个整数，它的数字和被整除？
将每个数都看成四位数(不是四位的，在左面补)，至共个数。千位数字是或，百位数字从到中选择，十位数字从到中选择，各有种。
在千、百、十位数字选定后，个位数字在到中选择，要使数字和被整除，这时有两种可能：设千、百、十位数字和为，在，，，中恰好有一个数，使被整除(、、、除以，余数互不相同，其中恰好有一个余数是，即相应的数被整除)；在，，，中也恰好有一个数()，使被整除。因而数字和被整除的有：???个
再看个位数字是或的数。千位数字是或，百位数字从到中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在到中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被整除。因此数字和被整除的又有：???个。
在个位数字、十位数字、千位数字均为或的数中，百位数字在到中选择。有两种可能使数字和被整除。因此数字和被整除的又有：???个。
最后，千、百、十、个位数字为或的数中有两个数，数字和被整除，即和，而不算。 于是到中共有个数，数字和被整除。 例
圆上有个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个位数并且能被整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个位数也能被整除。
分析：把从某一位起按顺时针方向记下的位数记为： 只需证明从其相邻一位读起的数：
证明：设从某一位起按顺时针方向记下的位数为：依题意得：
为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数：。
∴?(
)(
(
)
)
，其能被整除。
也能被整除即可。
能被整除。
也能被整除即可
∵
而能被整除，∴也能被整除。 因此，
能被整除。从而问题得证。
评注：本题中，难以分解因数，故将它化为，使问题得到顺利解决。 这种想办法降低次数的思想，应注意领会掌握。
例 证明：能被整除
分析：要证明能被整除，只需证明的末位数字为，即证，，三个数的末位数字和为。 证明：的末位数字显然为；
()，而的末位数字是，所以的末位数字也是； ()?，的末位数字是，所以的末位数字是； ∴，，三个数的末位数字和为 ∴能被整除
评注：本题是将证明被整除转化为求三数的末位数字和为。解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题，这是化归思想。
例 设 ()表示自然数的末位数， 求解：
∵?，又因为连续个自然数的平方和的末位数都是 ∴
的值。
…
又
∴
评注：本题用到了连续个自然数的平方和的末位数都是这个结论。 例
请找出个不同的自然数，分别填入个问号中，使这个等式成立。(第三届华杯赛口试题)
分析：分子为分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数，它在很多问题中经常出
现。解决这类问题的一个基本等式是：以写成两个埃及分数之和。
解：首先，
，它表明每一个埃及分数都可
从这个式子出发，利用上面给出的基本等式，取可得： ∴
又利用上面给出的基本等式，取可得： ∴
再利用上面给出的基本等式，取可得：
∴
最后再次利用上面给出的基本等式，取可得：∴
即可找出，，，，，六个自然数分别填入个问号中，使等式成立。
评注：、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同，所以每步取时要适当考虑，如
：最后一步就不能取，因为将产生
，而
已出现了。
、本题的答案是不唯一的，如最后一步取，就可得：
例
如图，在一个正方体的八个顶点处填上到这些数码中的个，每个顶点处只填一个数码，使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等，并且这个和数不能被那个未被填上的数码整除。求所填入的个数码的平方和。
(第届“希望杯”数学竞赛培训题)
解：设是未填上的数码，是每个面上的四个顶点处所填的数码之和，由于每个顶点都属于个面，所以
()
即?，于是，可以断定是奇数
而不整除，所以只能是，则填入的个数码是 ，，，，，，，，它们的平方和是： 例在右边的加法算式中，每个?表示一个数字，任意两个数字都不同。试求和乘积的最大值。
? ? ? ) ? ? ? ? ?
分析：先通过运算的进位，将能确定的?确定下来，再来分析求出和乘积的最大值。 解：设算式为： )
显然，，， ，, ∴≤ ()，∴
要想?最大，∵ ≤，∴取，。此时,故?的最大值为.
评注：本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定，，，然后再通过分析、观察得出、的关系，最后求出?的最大值。
例 在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数、
、
、
。并请这个人算出个数
、。现
的和，把告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数
来。(第四届美国数学奥林匹克试题)
在设，请你做魔术师，求出数
解：将
也加到和上，这样、、就在每一位上都恰好出现两次，所以有
() ①
从而 <()<，而、、是整数 所以 ≤≤
因为 ?，?，?，? 其中只有能满足①式，所以评注：本题将
也加到和上，目的是使得由、、组成的个三位数相加，这样、、在
每个数位上出现的次数相同。这一技巧在解决数字问题中经常使用。
三、巩固练习
选择题
、两个十位数和和乘积的数字中有奇数( ) 、个 、个 、个 、个
、若自然数使得作竖式加法()()时均不产生进位现象，便称为“连绵数”。如因为不产生进位现象，所以是“连绵数”；但产生进位现象，所以不是“连绵数”，则不超过的“连绵数”共有( )个
初一数学竞赛讲座（三）数字、数位及数谜问题
