2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷I，解析
版）
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AgB)?P(A)gP(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?3?R3 4n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,…n)
一．选择题 (1)复数
3?2i? 2?3i(A)i (B)?i (C)12-13i (D) 12+13i 【答案】A
【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.
【解析】
3?2i(3?2i)(2?3i)6?9i?4i?6???i. 2?3i(2?3i)(2?3i)13(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??
1?k21?k2kkA. B. - C. D. -
22kk1?k1?k【答案】B
【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.
【解析】sin80o?1?cos280o?1?cos2(?80o)?1?k2,所以tan100???tan80
osin80o1?k2????.
cos80ok?y?1,?(3)若变量x,y满足约束条件?x?y?0,则z?x?2y的最大值为
?x?y?2?0,?(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42
a4a5a6=
【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
33a2?a2?5，a7a8a9?(a7a9)ga8?a8?10, 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3?(a1a3)g所以a2a8?50,
所以a4a5a6?(a4a6)ga5?a?(a2a8)?(50)?52 35(5)(1?2x)(1?3x)的展开式中x的系数是
13353163(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
A
2362 B C D 3333A1
D1
B1
D
A
O
C1
【答案】D
【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
C B
（8）设a=log32,b=In2,c=5?12,则
A a 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=log32= 1211, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a 到x轴的距离为 (A) 36 (B) (C) 3 (D) 6 22【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 a2a2|PF1|?e[x0?(?)]?a?ex0?1?2x0，|PF2|?e[x0?)]?ex0?a?2x0?1.由余 cc弦定理得 |PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2(1?2x0)2?(2x0?1)2?(22)20cos∠F1PF2=,即cos60?, 2|PF1||PF2|2(1?2x0)(2x0?1)解得x0?265322,所以y0?x0?1?，故P到x轴的距离为|y0|? 222（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0 uuuvuuuv（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的 最小值为 (A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x(x?0),∠APO=?,则∠APB=2?，PO=1?x2，sin??A 11?x2， O P uuuvuuuvuuuvuuuvx2(x2?1)x4?x222PA?PB?|PA|?|PB|cos2?=x(1?2sin?)==22x?1x?1B uuuvuuuvx4?x2422，令PA?PB?y，则y?2，即x?(1?y)x?y?0，由x是实数，所以 x?1??[?(1?y)]2?4?1?(?y)?0，y2?6y?1?0，解得y??3?22或y??3?22. uuuvuuuv故(PA?PB)min??3?22.此时x?2?1. （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
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