3.当粒子处于态?1和态?2的线形迭加态时，粒子是既处于态?1，又处于态?2，例如抛正六面体的塞子。
四、态迭加原理的一般表达式 ???cn?n,c1,c2……为复数
n物理意义：书第23页，学生回答。
五、态迭加原理的一个实例（电子在晶体表面衍射实验中的情形）P23?25。同学们自学，并看一看数理方法中的傅立叶变换。下次课解答疑问。
?以一个确定的动量p运动的电子状态的波函数
??Et?p·r????p?r,t??Ae （1）
i???由态迭加原理，在晶体表面上反射后，粒子的状态?可以表示为p取多种可能值
的平面波的线性迭加：
???（2） ??r,t???c?p??p?r,t?
p?由于p可以连续变化，求和改为积分：
??r,t?????c?p,t??p?r?dpxdpydpz （3）
???式中
??p?r??? c?p,t??1?2???13e2i??p·r? （4）
i???2???132?p·r?????r,tedpxdpydpz （5） ????把（4）式代入（3）式得：
? ??r,t???2???32p·r?? ???c?p,t?edpxdpydpz （6）?i????显然（5）、（6）两式互为傅立叶变换式，且c(p,t)与?(p,t)描写的是一个状态。?是同一个状态的两种不同的描写方式。?(r,t)是以坐标为自变量的波函数。?c(p,t)则是以动量为自变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
简述经典力学中质点的状态及运动方程
类似地，详见曾书P18，微观粒子状态的变化规律也应该遵循某一方程。
一、薛定谔方程应该满足的条件 ?1、方程应当是?(r,t)对时间的一阶微分方程 ?这是由波函数?(r,t)完全描写的基本假设所决定。
2、方程是线性的（只包含一次项）
即如果?1和?2是方程的解，那么它们的线性迭加c1?1?c2?2也是方程的解，这是态迭加原理的要求。
?3、这个方程的系数不应该包含状态的参量。如动量、能量等。但可含有U?r?，?因为U?r?由外场决定，不是粒子的状态参量。
二、自由粒子波函数所满足的微分方程 ?p·r?Et???∵ ?p?r,t??Ae （1）
i??将上式两边对时间t求一次偏导，得：
?p·r?Et?ii???EAe??E?p ?t????pi??或 i???p?t?E?p （2）
∵上式还包含状态参量——能量E，故不是我们所要求的方程。 将（1）式两边对x求二次偏导，得到：
??i??p?x????x?Ae??p·r?Et?????i????xpx?ypy?zpz?Et
?x?Ae??????
i?ip??xpx?ypy?zpz?Et??xAe?i?px?p2 ?2?P?i?p2x?x2????px???p???2?p 2同理： ?2?P?y2??py?2?p 2 ?2?P?z2??pz?2?p ????2?2??2上三式相加得： ??x2??y2?p2 ??z2???p???2?p ?2??2?2?2令?x2??y2??z2 ——Laplace算符则（3）式简化为：
?2??p2p??2?p 对自由粒子： E?Ep2K?2??p2?2?E
将（5）代入（4）得：
?2 ?2??2?p?E?p
比较（2）、（6）两式得：
i???p?2?t??2??2?p 显然它满足前面所述条件。
3）4）5）6）7）
（
（
（ （ （三、薛定谔方程 1、能量算符和动量算符 由（2）式 i???p?t?E?p 可看出E与i?E?i??对波函数的作用相当： ?t? （能量算符） （8） ?t将（4）式改写成：
?? ?p·p?????i????·?i????
?由此知 p??i?? （动量算符） （9）
?????? ??i?j?k （劈行算符）
?x?y?z问：px?? （px??i?2、薛定谔方程
?） ?x现在利用关系式（8）、（9）来建立在立场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中的势能为U?r?，则：
p2 E? ?U?r? （10）
2??上式两边乘以波函数??r,t?得：
p2 E????U?r??
2?将（8）、（9）式代入得：
????22 i?（11） ?????U?r??
?t2??这个方程为薛定谔方程。（U?U?r,t?）
注：上面我们只是建立了薛定谔方程，而不是推导，建立的方式有多种。薛定谔方程的正确与否靠实验检验。 3、关于薛定谔方程（详见曾书P19?21）
四、多粒子体系的薛定谔方程 p???n2∵ E??i2??U?r1,r2,?rN?
I?1i上式两边乘以波函数??r?,r??12,?rN,t?并做代换
E?i???t ?pi??i??i ； 其中 ???????i?i?x?j?k i?yi?zi则有： i???N?t????2?2i??U?
i?12?i上式就是多粒子体系的薛定谔方程。
§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律一、几率随时间的变化 几率： ?(r?,t)???(r?,t)?(r?,t)?|?(r?,t)|2 则：
???????t????t???t? Sch-eq： i???t??[??22??2?U?r??]?
???t?i?2??2??1i?U?r??? 及 ????t??i?2??2???1??i?U?r??
（3）、（4）代入（2）式有：
???t?i?2???*?2????2?*? ?i?2??·??*??????*? 令： J??i?2?[?????????] 则（5）式可写成：
1）2）3）4）5）6）
（ （
（（ （ （
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