数学模型与实验报告
姓名：王珂 班级：121111 学号：20111002442 指导老师：沈远彤
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数学模型与实验
一、数学规划模型
某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制。
（1）请为该企业制定一个生产计划，使每天获利最大。
（2）若用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资？若投资，每天最多购买多少吨铝原料？
（3）如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时几元？
（4）如果每吨A型材的获利增加到3000元，应否改变生产计划？
题目分析：
每5吨原料可以有如下两种选择：
1、在甲机器上用12小时加工成3吨A每吨盈利2400元 2、在乙机器上用8小时加工成4吨B每吨盈利1600元 限制条件：
原料最多不可超过250吨，产品A不可超过100吨。工作时间不可超过480小时
线性规划模型：
设在甲设备上加工的材料为x1吨，在乙设备上加工的原材料为x2吨，获利为z，由题意易得约束条件有： Max z = 7200x1/5 +6400x2/5 x1 + x2 ≦ 250
12x1/5 + 8x2/5 ≦ 480
0≦3x1/5 ≦ 100, x2 ≧ 0 用LINGO求解得：
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 100.000 0.000000 X2 150.000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAI PRICE 1 336000.0 1.000000 2 0.000000 960.0000 3 0.000000 40.00000 4 40.00000 0.000000 做敏感性分析为：
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VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COFF INCREASE DECREASE X1 1440.00 480.000 160.000 X2 1280.00 160.000 320.000 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
2 250.000 50.0000 33.3334 3 480.000 53.3332 80.0000 4 100.000 INFINITY 40.0000
1、可见最优解为x1=100，x2=150，MAXz=336000。因此最优解为在甲设备上用100吨原料生产A产品，在乙设备上用150吨原料生产B产品。最大盈利为336000.
2、由运算结果看约束条件1（原料）的影子价格是960，即每增加1吨原料可收入960，小于1000元，因此不购入。
3、同理可得，每小时的影子价格是40元，因此聘用员工的工资不可超过每小时40元。
4、由敏感性分析可得，在最优解不变的前提下，x1予许的变化范围上限是1920，下限是1280。若每吨A获利增加到3000，价值系数变为1800，在允许范围内，所以保持原计划不变。
二、微分方程模型
在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。设尾数n(t)的(相对)减少率为常数; 由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本省成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相
?/n|表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t)。问如何选择T和E，对减少量|n使从T开始的捕获量最大。
基本假设：
1.鱼塘里的鱼无繁殖，且不会自然死亡。 2.鱼苗尾数相对减少率为常数。
3.由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与本身重量成正比。
4.将鱼简化为椭球体，且其密度分布均匀，初始状态相同。
符号表示
符号 符号说明 3 / 11
n0 m0 鱼塘内初始时刻的鱼尾数 鱼塘内每条鱼初始时刻的重量 鱼塘内t时刻的鱼尾数 鱼塘内每尾鱼t时刻的重量 尾数的相对减少率 重量增加率与表面积的比例 重量减少率与重量本身的比例 初始时刻每尾鱼的表面积 t时刻每尾鱼的表面积 捕捞能力 单位时间捕获量 捕获量最大的时刻 渔网网眼面积 椭球体的长半轴长 椭球体的宽半轴长 椭球体的高半轴长 鱼的体密度 标准正态分布函数 鱼群表面积的均值 鱼群表面积分布的方差 椭球体的体积 n?t? m?t? k k1 k2 s?0? s?t? E N?t? T W a?t? b?t? c?t? ? ??t? u ?2 V 模型的建立：
由基本假设：
鱼苗尾数n?t?相对减少率为常数，则可得以下微分方程：
dn?t???kn?t? ?1? dt由基本假设：
由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。可得以下微分方程：
dm?t??k1s?t??k2m?t? ?2? dt又因为要通过设定渔网网格面积来确定最大捕获量，而渔网网格面积由每尾鱼
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的最小横截面相关，又每尾鱼的横截面面积与鱼的表面积相关。由基本假设中鱼群的表面积服从正态分布，即：
f?s?t???12??e??s?t??u?22?2 ?3?
其中u为s?t?的均值，?2为s?t?的方差。 则在此条件下：
N?T??P?s?t??s?T??n?t? ?4?
又由
N?t??En?t? 得：
E?P?s?t??s?T??
模型的求解：
关于鱼尾数随时间变化的微分方程组：
??dn?t????kn?t??dt ?n?0??n0可直接求解得：
n?t??n?kt0e ?7?又椭球体的体积为：
V?4?abc3 ?8?
表面积近似为：
s?4??abc?23 ?9?又
m??V ?10?
则可得：
???2?3s?4??m??3m?2?3?4????4?????3????4??? 则将?11?式代入?2?式可得：
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?5?
?6?
?11?
数学模型与实验报告习题
