带强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵
模型的Hopf分支
伏升茂,孙姣姣
【摘 要】摘要：研究带强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型的Hopf分支问题.首先,在相应的常微分模型中讨论正平衡点的稳定性,并以Allee阈值θ为分支参数,分析Hopf分支的存在性、分支方向和稳定性.然后在相应的反应扩散模型中讨论多个Hopf分支点和第一个分支参数θ0的分支方向. 【期刊名称】西北师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2019(055)001 【总页数】7
【关键词】Rosenzweig-MacArthur捕食-食饵模型;Allee效应;稳定性;Hopf分支
修改稿收到日期:：2018-10-10
基金项目:国家自然科学基金资助项目(11361055,11761063)；西北师范大学青年教师科研能力提升计划资助项目(NWNU-LKQN-11-21)
0 引言
捕食者与食饵两种群动力系统是生物数学研究的重要课题之一.反应扩散方程组是反映物种从高密度区向低密度区迁移规律的一类重要模型.1932年，美国动物学家Allee提出了Allee效应,即群居有益于种群的生长和存活,但种群过于稀疏或拥挤都会阻碍其生长,并对繁殖产生副作用,每个物种都有最适宜生长的密度.Allee效应主要有强Allee效应和弱Allee效应.若在低密度下的种群平均增长率为负,则称为强Allee效应；弱Allee效应是指在零密度下种群平均增长率
为正.强Allee效应提出了一个种群阈值,种群密度必须超过此阈值才能存活.与此相反,带有弱Allee效应的种群则无此阈值.
由于Allee效应对种群动力学有潜在的影响,近年来吸引了众多学者的注意力.Rosenzweig等[1-4]提出了带有强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型,并讨论了捕食者-食饵相互作用的稳定性条件.文献[5-7]指出，局部动态和扩散界限是种群持续下去的重要标准,调查表明蝴蝶分散在斑块环境中比从群体隔离出去更能够大量存活.文献[8]说明斑块环境中捕食者-食饵系统是受多种因素影响的,如扩散和局部密度依赖等.两三个斑块的集合种群在捕食者-食饵系统和传染病系统中已被研究[9-11].自然界存在的两种主要局部密度依赖是负密度依赖和正密度依赖,负密度依赖时种群密度增长,而正密度依赖时种群灭绝.文献[12]给出两斑块捕食者-食饵系统的基本性质，分析了Allee阈值对两斑块模型的影响,讨论了时滞对扩散两斑块模型的影响.文献[13]研究了BB-模型和BF-模型取不同参数时的局部分支、全局分支及全局分支的含义.文献[14]主要讨论带有Crowley-Martin型函数的捕食者-食饵模型,对常微分方程的空间齐次模型的局部渐近稳定性和Hopf分支进行初步分析,对于反应扩散模型,首先证明了Turing不稳定性的存在,其次证明模型的Turing不稳定点所在曲线与Hopf分支曲线相交,最后讨论了非常数正平衡解的存在性和不存在性，并通过数值模拟验证理论结果.文献[7]和[15]提出了一种比Volterra模型和Leslie模型更为真实的模型,即Rosenzweig-MacArthur模型.文献[16-18]主要研究Rosenzweig-MacArthur系统极限环的稳定性和唯一性.文献[19]研究了包括Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型在内的带有多功能反应项的捕食者-食饵模型等生态系统的不稳定性.文献[20]讨论了带有扩散项和食饵趋化项的
Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型,得到正平衡解的全局存在性和有界性以及全局吸引子的存在性和系统的一致持久性.
文中讨论带有强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型 其中，Ω为带有光滑边界?Ω的有界区域；n为?Ω上的单位外法向量;N=N(x,t)和P=P(x,t)分别为食饵和捕食者的种群密度;常数di(i=1,2)为对应于N和P的扩散系数；参数θ(0<θ<1)为Allee阈值；η为食饵种群的自然死亡率；a为捕食率；c(0 1 ODE模型的稳定性及Hopf分支 系统(1)无量纲化后的常微分方程系统为 (2) 其中β=1/ac,m=η/ac. 本节首先讨论系统(2)正常数平衡解的稳定性，其次分析正常数平衡解处的Hopf分支. 容易得出,如果下列条件成立： (H1)0<θ 那么系统(2)有唯一的正常数平衡点,记为(N*,P*),这里 N*=m,P*=(m-θ)(1-m). 系统(2)在(N*,P*)点的Jacobi矩阵是 那么,J在(N*,P*)点的特征方程为 λ2-Θλ+Δ=0,
带强Allee效应的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食饵模型的Hopf分支
