专题一 平面向量、三角函数与解三角形
[析考情·明重点]
小题考情分析 1.平面向量的数量积及应用(5年5考) 常考点 2.三角函数的图象与性质及应用(5年5考) 大题考情分析 浙江高考对此部分内容在解答题中的考查主要集中在三角恒等变换、解三角形、三角函数的性质．三角恒等变换一般不单3.利用正、余弦定理解三角形(5年3考) 独考查，常结合正、余弦定理考查解三角1.平面向量的线性运算 2.三角恒等变换与求值 形，结合三角函数的性质考查三角函数，近两年三角函数的概念、性质和三角恒等变换是考查的热点，试题难度中档偏下. 偶考点 第一讲 小题考法——平面向量
考点(一) 平面向量的线性运算 [典例感悟]
[典例] (1)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝( ) A．4 C．6
B．－5 D．－6
及向量共线定理的应用. 主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以(2)(2018·浙江三模)已知向量e1＝(1,2)，e2＝(3,4)，且x，y∈R，xe1＋ye2＝(5,6)，则x－y＝( )
A．3 C．1
B．－3 D．－1
―→―→―→
(3)(2019届高三 ·浙江名校联考)若点P是△ABC的外心，且PA＋PB＋λPC＝0，∠ACB＝120°，则实数λ的值为( )
1A. 2C．－1
1
B．－
2 D．1
[解析] (1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.故选D.
(2)∵向量e1＝(1,2)，e2＝(3,4)，且x，y∈R，xe1＋ye2＝(5,6)，则(x＋3y,2x＋4y)
＝(5,6)，
??x＋3y＝5，∴???2x＋4y＝6，
??x＝－1，
解得?
??y＝2，
∴x－y＝－3.故选B.
―→―→―→―→―→―→―→
(3)设AB的中点为D，则PA＋PB＝2PD.因为PA＋PB＋λPC＝0，所以2PD＋
λPC＝0，所以向量PD，PC共线．又P是△ABC的外心，所以PA＝PB，所以PD⊥AB，所
―→―→
以CD⊥AB.因为∠ACB＝120°，所以∠APB＝120°，所以四边形APBC是菱形，从而PA＋PB―→―→―→―→―→―→
＝2PD＝PC，所以2PD＋λPC＝PC＋λPC＝0，所以λ＝－1，故选C.
[答案] (1)D (2)B (3)C
[方法技巧]
掌握平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b?存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
[演练冲关]
―→―→
1．(2019届高三·台州检测)已知e1，e2是平面内两个不共线向量，AB＝e1－ke2，CB―→
＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
A．2 C．－2
B．－3 D．3
―→―→―→
―→―→
解析：选A ∵CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2， ―→―→―→
∴BD＝CD－CB＝(3e1－3e2)－(2e1－e2)＝e1－2e2. ∵A，B，D三点共线， ―→―→
∴AB与BD共线，
∴存在唯一的实数λ，使得e1－ke2＝λ(e1－2e2)．
??1＝λ，即?
?－k＝－2λ，?
解得k＝2.
2.(2018·浙江模拟)如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两14―→―→―→―→
个动点，且AD＋AE＝xAB＋yAC，则＋的最小值为( )
xy3A． 25C． 2
B．2
9D． 2
―→―→―→―→―→―→
解析：选D 设AD＝mAB＋nAC，AE＝λAB＋μAC， ∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1. ―→―→―→―→
∵AD＋AE＝xAB＋yAC，则x＋y＝2， 141?14?1?y4x?1?∴＋＝?＋?(x＋y)＝?5＋＋?≥?5＋2
xy?2?xy2?xy?2?
9y4x?914
·?＝.则＋的最小值为.
2xy?2xy―→―→―→
3．(2018·衢州期中)已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为( )
1A. 53C. 5
2B. 54D. 5
―→―→
解析：选C 因为D是AB的中点，所以AB＝2AD， ―→―→―→因为5AM＝AB＋3AC，
―→―→―→―→―→―→所以2AM－2AD＝3AC－3AM，即2DM＝3MC， ―→―→―→―→―→3―→所以5DM＝3DM＋3MC＝3DC，所以DM＝DC，
5设h1，h2分别是△ABM，△ABC的AB边上的高， 1
×AB×h1―→
S△ABM2h1DM|DM|3所以＝＝＝＝＝.
S△ABC1h2DC―→5
|DC|×AB×h2
2
考点(二) 平面向量的数量积及应用 主要考查数量积的运算、夹角，向量模的计算问题及平面向量中的最值问题. [典例感悟]
―→―→―→
[典例] (1)(2018·遂宁模拟)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3 BD，|AD|＝1，―→―→
则AC·AD的值为( )
A．23
3 3
B．3 2
C．D．3
(2)向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0.若|λa－b|的最小值为2(λ∈R)，则a·b＝( )
A．0 C．8
B．4 D．16
(3)(2018·杭州二模)记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a＋2b－2c)＝2，则( )
A．|a－c|max＝
3＋7
23＋7
2
B．|a＋c|max＝
7－3
27－3
2
C．|a－c|min＝ D．|a＋c|min＝
[解析] (1)∵在△ABC中，AD⊥AB， ―→―→
∴AB·AD＝0，
―→―→―→―→―→AC·AD＝(AB＋BC)·AD ―→―→―→―→＝AB·AD＋BC·AD ―→―→＝BC·AD ―→―→＝3 BD·AD ―→―→―→＝3(AD－AB)·AD
―→―→―→―→＝3 AD·AD－3 AB·AD ＝3.
(2)法一：由已知得a·b＝b，则|λa－b|＝16λ－2λa·b＋a·b(λ∈R)，当且仅当λ＝
2
22
a2λ2－2λa·b＋b2＝
a·b16
时，|λa－b|有最小值2，所以16?
?a·b?
??16?
－2?
?a·b?a·b＋a·b＝4，所以(a·b－8)2＝0，故a·b＝8.故选C.
??16?
法二：向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，即a·b＝b.由题意知|λa－b|＝
2
a2λ2－2λa·b＋b2＝16λ2－2λa·b＋a·b≥2(λ∈R)，即16λ2－2λa·b＋a·b－
4≥0对于λ∈R恒成立，所以对于方程16λ－2λa·b＋a·b－4＝0，Δ＝4(a·b)－64(a·b－4)≤0，即(a·b－8)≤0，所以(a·b－8)＝0，所以a·b＝8.故选C.
(3)由a·b＝2×2cos〈a，b〉＝2， 13
可得cos〈a，b〉＝，sin〈a，b〉＝，
22
―→―→―→
设OA＝a＝(2,0)，OB＝b＝(1，3)，OC＝c＝(x，y)， 可得(x，y)·(4－2x,23－2y)＝2， 即x(4－2x)＋y(23－2y)＝2， 可化为x＋y－2x－3y＋1＝0， 则C在以圆心P?1，
2
2
2
2
22
??33?
?，半径r＝2的圆上运动， 2?
且|a－c|表示点A与点C的距离， 显然最大值为|AP|＋r＝ 最小值为|AP|－r＝
333＋71＋＋＝， 422
337－3
1＋－＝. 422
―→―→―→―→―→
设D(－2,0)，则|a＋c|＝|OA＋OC|＝|－OD＋OC|＝|DC|， 则|a＋c|表示点D(－2,0)与点C的距离， 显然最大值为|DP|＋r＝ 最小值为|DP|－r＝
3339＋39＋＋＝， 422
39－3. 2
[答案] (1)D (2)C (3)A
[方法技巧]
在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(a±b)＝|a|
2
2
2
2
2
2
2
＋|b|±2a·b，(a＋b＋c)＝|a|＋|b|＋|c|＋2(a·b＋b·c＋a·c)的灵活运用．另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度．
[演练冲关]
―→1―→1．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，DC＝AB，
3
AC与BD相交于点O，E是BD的中点，若AO·AE＝8，则AC·BD＝( )
―→―→―→―→
A．－9 C．－10
29
B．－
332
D．－
3
―→1―→―→3―→
解析：选D 由DC＝AB，可得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，AO＝AC＝
343?―3―→1―→→1―→―→1―→1―→―→―→
AD＋AB ?＝AD＋AB，又E是BD的中点，所以AE＝AD＋AB，则AO·AE??34?422?41―1―→1―→??1―→1―→?3―→→→―→391―→―→?3―22
＝?AD＋AB ?·?AD＋AB ?＝AD＋AB＋AD·AB＝＋＋AD·AB＝8，
4282222?4??2?8→1―→?―→―→―→―→?―
则AD·AB＝4，则AC·BD＝?AD＋AB ?·
3??1232―→―→
AD·AB＝4－×36－×4＝－.
333
2．(2018·温州二模)已知向量a，b满足|a|＝1，且对任意实数x，y，|a－xb|的最小值为
3
，|b－ya|的最小值为3，则|a＋b|＝( ) 2
B.5＋23
D.5＋23或5－23
―→1―→2→―→＝AD－AB－(―)AD－AB 33
2
2
A.7 C.7或3
解析：选C 取a＝(1,0)，b＝(c，d)， 则|a－xb|＝＝ ∴1－
1－xc2
2
＋xd
22
c＋dc2
2
2
?x－2c2?2＋1－c≥3， ?c＋d?c2＋d22??
3＝， c＋d4
2
2
又|b－ya|＝解得c＝1. ∴|a＋b|＝
2
c－y2
＋d≥3，可得d＝3，
22
1＋c2
＋d＝5＋2c＝3或7.
2
3．(2019届高三·湖州五校模拟)设a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，则|2a－b|的取值范围是________．
解析：设|2a－b|＝t，则4a－4a·b＋b＝t， ∵|a＋2b|＝2，则a＋4a·b＋4b＝4， ∴5a＋5b＝t＋4， ∵|a|＝1，∴t＝1＋5b， ∵|a＋2b|＝2，|a|＝1，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
∴由|a＋2b|≤|a|＋2|b|＝1＋2|b|，得|b|≥，
23
由|2b＋a|≥2|b|－|a|＝2|b|－1，得|b|≤，
2129∴≤b≤， 44
?949?22
∴t＝1＋5b∈?，?，
?44?
37∴≤t≤， 22
?37?∴|2a－b|∈?，?.
?22??37?答案：?，? ?22?
[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．平面向量的性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. ―→
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
2
2
x2－x1
2
＋y2－y1
2
.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝
a·b＝
|a||b|
x1x2＋y1y2
. 22
x2x21＋y1 2＋y2
(4)|a·b|≤|a|·|b|. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定
―→―→
(1)A，B，C三点共线?AB，AC共线．
―→―→―→―→―→
(2)向量PA，PB，PC中三终点A，B，C共线?存在实数α，β使得PA＝αPB＋
βPC，且α＋β＝1.
―→―→
[针对练1] 在?ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋
―→
m―→
nAD (m，n∈R)，则＝________.
n―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：如图，∵AD＝2AE，EF＝mAB＋nAD，∴AF＝AE＋EF―→―→＝mAB＋(2n＋1)AE，
∵F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2. 答案：－2
2．中点坐标和三角形的重心坐标
(1)设P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为
mn?x1＋x2，y1＋y2?. ?22???
(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为?
?x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3?.
?33??
3．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
a―→―→―→
(1)O为△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝.
2sin A―→―→―→
(2)O为△ABC的重心?OA＋OB＋OC＝0.
―→―→―→―→―→―→
(3)O为△ABC的垂心?OA·OB＝OB·OC＝OC·OA. ―→―→―→
(4)O为△ABC的内心?aOA＋bOB＋cOC＝0. (三) 易错易混要明了
1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．
2．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，即消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行．
3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．
1
解析：依题意，当a与b的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而当a与
2b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a＝－b，a与b反向共线，此时a
?1?与b的夹角为π，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围是?－，2?∪?2?
(2，＋∞)．
?1?答案：?－，2?∪(2，＋∞) ?2?
[课时跟踪检测]
A组——10＋7提速练
一、选择题
?1?1．已知平面向量a＝(3,4)，b＝?x，?，若a∥b，则实数x为( ) ?2?
2
A．－
33C． 8
2B． 3
3
D．－
8
13
解析：选C ∵a∥b，∴3×＝4x，解得x＝，故选C.
28
2．(2019届高三·杭州六校联考)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝( )
A．9 C．12
B．10 D．13
解析：选D ∵向量a和b的夹角为120°， 且|a|＝2，|b|＝5，
∴a·b＝2×5×cos 120°＝－5， ∴(2a－b)·a＝2a－a·b＝2×4＋5＝13， 故选D.
―→
3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( ) 3―1―→1―→→3―→A.AB－AC B.AB－AC 44443―1―→1―→→3―→C.AB＋AC D.AB＋AC 4444
―→―→―→1―→1―→解析：选A 作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝
2211―→―→1―→―→3―→1―→
×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A. 22244
4．设向量a＝(－2,1)，a＋b＝(m，－3)，c＝(3,1)，若(a＋b)⊥c，则cos〈a，b〉＝( )
3
A．－
5
3B． 5
2
C．
5 525
D．－
5
解析：选D 由(a＋b)⊥c可得，m×3＋(－3)×1＝0，解得m＝1.所以a＋b＝(1，－3)，故b＝(a＋b)－a＝(3，－4)．
a·b所以cos〈a，b〉＝＝
|a|·|b|
－2×3＋1×－4－2
2
＋1×3＋－4
22
＝－2
25
，故选D. 5
―→―→―→―→―→
5．P是△ABC所在平面上一点，满足|PB－PC|－|PB＋PC－2PA|＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 C．等腰三角形
B．直角三角形 D．等边三角形
―→―→―→―→―→
解析：选B ∵P是△ABC所在平面上一点，且|PB－PC|－|PB＋PC－2PA|＝0， ―→―→―→―→―→
∴|CB|－|(PB－PA)＋(PC－PA)|＝0， ―→―→―→即|CB|＝|AB＋AC|， ―→―→―→―→∴|AB－AC|＝|AB＋AC|， ―→―→
两边平方并化简得AB·AC＝0， ―→―→
∴AB⊥AC，∴∠A＝90°， 则△ABC是直角三角形．
6.(2018·浙江二模)如图，设A，B是半径为2的圆O上的两个动―→―→
点，点C为AO中点，则CO·CB的取值范围是( )
A．[－1,3] C．[－3，－1]
B．[1,3] D．[－3,1]
解析：选A 建立平面直角坐标系如图所示，
可得O(0,0)，A(－2,0)，C(－1,0)，设B(2cos θ，2sin θ)．θ∈[0,2π)．
―→―→
则CO·CB＝(1,0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1,3]．
故选A.
7．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AC⊥BC，D为AB的―→1―→a－1―→―→―→―→
中点，点P满足AP＝AC＋AD，则PA·(PB＋PC)的最小值为( )
aaA．－2 25
C．－
8
28
B．－
97
D．－
2
―→1―→a－1―→
解析：选C 由AP＝AC＋AD知点P在直线CD上，以点
aaC为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立如图所示
的平面直角坐标系，则C(0,0)，A(0,2)，B(23，0)，D(3，1)，∴直线CD的方程为y＝
33?―→?3?―→?
x，设P?x，x?，则PA＝?－x，2－x?，PB＝33?3???
3?―→?3?―→―→?23??
?23－x，－x?，PC＝?－x，－x?，∴PB＋PC＝?23－2x，－x?，
3?3?3????
224381038?53?225―→―→―→
∴PA·(PB＋PC)＝－x(23－2x)＋x－x＝x2－x＝?x－?－8，
33333?8?5325―→―→―→
∴当x＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值－.
88
1
8．已知单位向量a，b，c是共面向量，a·b＝，a·c＝b·c<0，记m＝|λa－b|＋|λa
2－c|(λ∈R)，则m的最小值是( )
A．4＋3 C．2＋2
B．2＋3 D．4＋2
2
解析：选B 由a·c＝b·c，可得c·(a－b)＝0，故c与a－b―→―→―→
垂直，又a·c＝b·c<0，记OA＝a，OB＝b，OC＝c，以O为坐标―→
原点，OA的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设―→―→―→―→OD＝λa，则|λa－b|＋|λa－c|＝|BD|＋|CD|≥|b－c|＝|BC|，由图可知最小值为BC，易知∠OBC＝∠BCO＝15°，所以∠BOC＝150°，在△BOC中，BC＝BO＋OC－2BO·OC·cos∠BOC＝2＋3.所以m的最小值是2＋3.
―→
9．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP―→―→
＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 C.5
B．22 D．2
2
2
2
2
解析：选A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为422
所以圆C：(x－1)＋(y－2)＝.
5
22＋1
2
＝2
25
，
25?25?
因为P在圆C上，所以P?1＋cos θ，2＋sin θ?.
55??―→―→―→―→―→
又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)， 25?1＋
?5cos θ＝λ，所以?
252＋??5sin θ＝2μ，
λ＋μ＝2＋
π2
255
cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当55
θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
―→―→―→―→
10．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设AD·BC＝m，AC·BD＝n.若AB＝2，EF＝1，CD＝3，则( )
A．2m－n＝1 C．m－2n＝1
B．2m－2n＝1 D．2n－2m＝1
―→―→―→―→―→―→―→2―→―→解析：选D AC·BD＝(AB＋BC)·(－AB＋AD)＝－AB＋AB·AD－―→
AB·BC＋AD·BC＝－AB2＋AB·(AD－BC)＋m＝－AB2＋AB·(AB＋BC＋
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
CD－BC)＋m＝AB·CD＋m.又EF＝EA＋AB＋BF，EF＝ED＋DC＋CF，两式相―→―→―→
加，再根据点E，F分别是边AD，BC的中点，化简得2EF＝AB＋DC，两边同时平方得411―→―→―→―→―→―→1
＝2＋3＋2AB·DC，所以AB·DC＝－，则AB·CD＝，所以n＝＋m，即2n－2m222＝1，故选D.
二、填空题
11．(2018·龙岩模拟)已知向量a，b夹角为60°，且|a|＝1，|2a－b|＝23，则|b|＝________.
解析：∵|2a－b|＝23，∴4a－4a·b＋b＝12， ∴4×1－4×1×|b|cos 60°＋|b|＝12， 即|b|－2|b|－8＝0， 解得|b|＝4. 答案：4
22
2
2
2
12.(2019届高三·宁波效实模拟)如图，在平面四边形ABCD中，|AC|＝3，|BD|＝4，―→―→―→―→
则(AB＋DC)·(BC＋AD)＝________.
解析：∵在平面四边形ABCD中，|AC|＝3，|BD|＝4，
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→∴AB＋DC＝AC＋CB＋DB＋BC＝AC＋DB＝AC－BD， ―→―→―→―→―→―→―→―→BC＋AD＝BD＋DC＋AC＋CD＝AC＋BD，
―→―→―→―→―→―→―→―→―→2―→2
∴(AB＋DC)·(BC＋AD)＝(AC－BD)(AC＋BD)＝AC－BD＝9－16＝－7. 答案：－7
13．设向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，则|b|的最大值是________；最小值是________．
解析：由|a＋b|＝2|a－b|两边平方，得a＋2a·b＋b＝4(a－2a·b＋b)，化简得到3a＋3b＝10a·b≤10|a||b|，|b|－10|b|＋9≤0，解得1≤|b|≤9.
答案：9 1
14．(2018·嘉兴期末)在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则―→―→―→―→―→
CD·CA＝________；若CD＝xCA＋yCB，则xy＝________.
―→―→
解析：以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴的正方向建立如图→―→?4?所以―
所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，D?，0?，CD·CA?3?―→―→―→?4??4?＝?，－2?·(0，－2)＝4.由CD＝xCA＋yCB，得?，－2?＝x(0，－2)＋
?3??3?
2
2
2
2
2
2
2
ADBDy(2，－2)，所以＝2y，－2＝－2x－2y，解得x＝，y＝，所以xy＝.
2
答案：4
9
15．(2018·温州二模)若向量a，b满足(a＋b)－b＝|a|＝3，且|b|≥2，则a·b＝________，a在b方向上的投影的取值范围是________．
解析：向量a，b满足(a＋b)－b＝|a|＝3， ∴a＋2a·b＋b－b＝3， ∴9＋2a·b＝3，∴a·b＝－3； 则a在b方向上的投影为|a|cos θ＝3－3
又|b|≥2，∴－≤<0，
2|b|
2
2
2
2
2
2
2
43132329
a·b－3
＝， |b||b|?3?∴a在b方向上的投影取值范围是?－，0?. ?2??3?答案：－3 ?－，0? ?2?
16．(2018·温州适应性测试)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝a·b＝2，向量x＝λa＋(1－λ)b，向量y＝ma＋nb，其中λ，m，n∈R，且m>0，n>0.若(y－x)·(a＋b)＝6，则m＋n的最小值为________．
解析：法一：依题意得，[ma＋nb－λa－(1－λ)b]·(a＋b)＝6，所以[(m－λ)a＋(n－1＋λ)b]·(a＋b)＝6，
因为|a|＝|b|＝a·b＝2，所以4(m－λ)＋4(n－1＋λ)＋2[(m－λ)＋(n－1＋λ)]＝6，
所以m＋n－1＝1，即m＋n＝2，
所以m＋n＝m＋(2－m)＝2m－4m＋4＝2(m－1)＋2≥2，当且仅当m＝1时取等号， 所以m＋n的最小值为2.
法二：依题意得，[ma＋nb－λa－(1－λ)b]·(a＋b)＝6， 即[(m－λ)a＋(n－1＋λ)b]·(a＋b)＝6，
因为|a|＝|b|＝a·b＝2，所以4(m－λ)＋4(n－1＋λ)＋2[(m－λ)＋(n－1＋λ)]＝6，
所以m＋n－1＝1，即m＋n＝2，所以m＋n＝(m＋n)－2mn＝4－2mn≥4－2?当且仅当m＝n＝1时取等号，所以m＋n的最小值为2.
答案：2
17．已知在△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝4.若点P在△ABC的内切圆上运动，则―→―→―→
PA·(PB＋PC)的最小值为________，此时点P的坐标为________．
解析：因为AC⊥AB，所以以A为坐标原点，以AB，AC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?m＋n?2＝2，
??2?
C(0,4)．由题意可知△ABC内切圆的圆心为D(1,1)，半径为1.因为点P在△ABC的内切圆上运动，所以可设P(1＋cos θ，1＋sin
θ)(0≤θ<2π)．所以PA＝(－1－cos θ，－1－sin θ)，PB＋PC―→―→―→
―→―→―→
＝(1－2cos θ，2－2sin θ)，所以PA·(PB＋PC)＝(－1－cos θ)(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos θ－2＋2sin θ＝－1＋cos θ≥－1－1―→―→―→
＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P(0,1)时，PA·(PB＋PC)取到最小值，且最小值为
2
2
－2.
答案：－2 (0,1)
B组——能力小题保分练
1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并―→―→
延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
5A．－
81C. 4
1B. 8D.11 8
―→―→―→
解析：选B 如图所示，AF＝AD＋DF.
―→1―→―→
又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF21―→1―→3―→＝AC＋AC＝AC， 244
―→1―→3―→所以AF＝AB＋AC.
24―→―→―→
又BC＝AC－AB，
→3―→?―→―→?1――→―→
则AF·BC＝?AB＋AC?·(AC－AB)
4?2?1―→―→1―→23―→23―→―→
＝AB·AC－AB＋AC－AC·AB 2244
3―→21―→21―→―→3―→21―→21―→―→
＝AC－AB－AC·AB＝|AC|－|AB|－×|AC|×|AB|×cos∠BAC. 424424―→―→
又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°， 11―→―→311
故AF·BC＝－－×1×1×＝.
42428
2.如图，在等腰梯形ABCD中，已知DC∥AB，∠ADC＝120°，
AB＝4，CD＝2，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝
―→―→―→―→
DF＝λDC，则AE·BF的最小值是( )
A．46＋13 C．46＋
13 2
―→
1―→
BC，2λ B．46－13 13
D．46－
2
解析：选B 在等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，∠ADC＝120°，易得AD＝BC＝2.由
1??0<<1，
动点E和F分别在线段BC和DC上得，?2λ??0<λ<1，―→
―→
―→
―→
―→
―→
―→
1―→―→―→
所以<λ<1.所以AE·BF＝(AB＋
2―→
―→
―→
―→
―→
BE)·(BC＋CF)＝AB·BC＋BE·BC＋AB·CF＋BE·CF＝|AB|·|BC―→
―→―→―→―→―→―→?1?1
|cos 120°＋|BE|·|BC|－|AB|·|CF|＋|BE|·|CF|cos 60°＝4×2×?－?＋
?2?λ×2－4×(1－λ)×2＋13，当且仅当λ＝13
×(1－λ)×2×＝－13＋8λ＋≥－13＋2λ2λ1
3
8λ×＝46－
λ6―→―→
时取等号．所以AE·BF的最小值是46－13. 4
1
3．(2018·台州一模)已知单位向量e1，e2，且e1·e2＝－，若向量a满足(a－e1)·(a
25
－e2)＝，则|a|的取值范围为( )
4
A.?2－
??33?，2＋? 22?
11??B.?2－，2＋?
22??D.?0，2＋
1??C.?0，2＋?
2??
?
?3?? 2?
1
解析：选B ∵单位向量e1，e2，且e1·e2＝－，
2∴〈e1，e2〉＝120°， ∴|e1＋e2|＝
?1?1＋1＋2×?－?＝1. ?2?
5
若向量a满足(a－e1)·(a－e2)＝，
452
则a－a·(e1＋e2)＋e1·e2＝，
472
∴|a|－a·(e1＋e2)＝，
4
72
∴|a|－|a|·cos〈a，e1＋e2〉＝，
472
|a|－4
即cos〈a，e1＋e2〉＝. |a|∵－1≤cos〈a，e1＋e2〉≤1， 7
∴－1≤|a|－≤1，
4|a|
11
解得2－≤|a|≤2＋，
22
11??∴|a|的取值范围为?2－，2＋?.
22??
4．(2017·丽水模拟)在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，BC＝6，CA＝33，―→―→―→―→―→―→
若AB·AE＋AC·AF＝2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________．
―→2―→―→2―→2―→2―→―→
解析：由题意可得BC＝(AC－AB)＝AC＋AB－2AC·AB＝33＋1－―→―→―→―→
2AC·AB＝36，∴AC·AB＝－1.
―→―→―→―→
由AB·AE＋AC·AF＝2，
―→―→―→―→―→―→可得AB·(AB＋BE)＋AC·(AB＋BF) ―→2―→―→―→―→―→―→＝AB＋AB·BE＋AC·AB＋AC·BF ―→―→―→―→＝1－AB·BF＋(－1)＋AC·BF ―→―→―→＝BF·(AC－AB) 1―→―→
＝EF·BC＝2， 2―→―→
故有EF·BC＝4.
―→―→―→―→再由EF·BC＝1×6×cos〈EF，BC〉，
2―→―→―→―→
可得6×cos〈EF，BC〉＝4，∴cos〈EF，BC〉＝. 32答案： 3
π
5．(2019届高三·镇海中学模拟)已知向量a，b的夹角为，|b|＝2，对任意x∈R，
3有|b＋xa|≥|a－b|，则|tb－a|＋?tb－?(t∈R)的最小值为________．
2??
π
解析：向量a，b夹角为，|b|＝2，对任意x∈R，有|b＋xa|≥|a－b|，
3两边平方整理可得xa＋2xa·b－(a－2a·b)≥0， 则Δ＝4(a·b)＋4a(a－2a·b)≤0， 即有(a－a·b)≤0，即为a＝a·b， 则(a－b)⊥a，
π
由向量a，b夹角为，|b|＝2，
3
2
2
2
2
2
222
2
?
a?π2
由a＝a·b＝|a|·|b|·cos，得|a|＝1，
3则|a－b|＝a＋b－2a·b＝3，
―→―→
画出AO＝a，AB＝b，建立平面直角坐标系，如图所示： 则A(1,0)，B(0，3)， ∴a＝(－1,0)，b＝(－1，3)； ∴|tb－a|＋?tb－?
2??＝
1－t2
22
2
?
a?
＋3t2
＋
?1－t?2＋
?2???
3t2
＝4t－2t＋1＋
12
4t－t＋
4
3???t－1?2＋?
?8??0＋?2? ???8??
＝2?
?
?
3??t－1?2＋?
?4??0－?2＋ ???4?
3??13??1
表示P(t,0)与M?，?，N?，－?的距离之和的2倍，
8??44??8当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|. 即有2|MN|＝2
7
2
73??1－1?2＋?3
?48??＋?2＝2. ???48?
答案：
―→―→―→―→
6．已知定点A，B满足|AB|＝2，动点P与动点M满足|PB|＝4，AM＝λAB＋(1―→―→―→―→―→
－λ)AP (λ∈R)，且|MA|＝|MP|，则AP·AM的取值范围是________；若动点C也―→―→―→
满足|CB|＝4，则AC·AM的取值范围是________．
―→―→―→
解析：因为AM＝λAB＋(1－λ)AP (λ∈R)，λ＋1－λ＝1，―→―→
所以根据三点共线知，点M在直线PB上，又|MA|＝|MP|，记PA的中―→―→―→―→―→
点为D，连接MD，如图，则MD⊥AP，AP·AM＝AP·(AD＋DM)＝1――→―→→―→
AP·AD＋0＝AP2，因为|PB|＝4，所以点P在以B为圆心，4为半
2―→―→―→1―→2
径的圆上，则|AP|∈[2,6]，则AP·AM＝AP∈[2,18]．
2
由于|MA|＋|MB|＝|MP|＋|MB|＝4，所以点M在以A，B为焦点，长轴的长为4的椭圆上，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为＋＝
43
x2y2
1，点C在圆(x－1)＋y＝16上，A(－1,0)，设M(2cos α，3sin α)，C(4cos β＋1，―→―→
4sin β)，则AC＝(4cos β＋2,4sin β)，AM＝(2cos α＋1，3sin α)，
―→―→
AC·AM＝(8cos α＋4)cos β＋43sin αsin β＋4cos α＋2 ＝
8cos α＋4
2
22
＋43sin α2
sin(β＋φ)＋4cos α＋2
＝(4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，
最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6， ―→―→
所以AC·AM∈[－6,18]． 答案：[2,18] [－6,18]
第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质 考点(一) 三角函数的图象及应用 [典例感悟]
[典例] (1)要想得到函数y＝sin 2x＋1的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象( ) π
A．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
4π
B．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
4π
C．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
2π
D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
2(2)已知函数g(x)＝sinx－cosx，如图是函数f(x)＝
2
2
主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数. Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|
2
??
π?
?
的图象，只需将g(x)的图象( )
π
A．向左平移个单位长度
6π
B．向左平移个单位长度
3π
C．向右平移个单位长度
6
π
D．向右平移个单位长度
3
π?xxπ2x???(3)将函数f(x)＝2sincoscos φ＋?2cos－1?sin φ?|φ|
?π?单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的图象关于y轴对称，则g??的值为( )
?6?
A.
3
2
B．－
3 2
1C. 21
D．－
2
π?π?[解析] (1)先将函数y＝cos 2x＝sin?2x＋?的图象向右平移个单位长度，得到y2?4?＝sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin 2x＋1的图象，故选B.
(2)设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知A＝1，T＝?
?11π－π?×4＝π＝2π，所?6?3ω?12
ππππ?π?以ω＝2.因为f??＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，f(x)
6226?6?π?π?π??22
＝sin?2x＋?.将g(x)＝sinx－cosx＝－cos 2x＝sin?2x－?的图象向左平移个单位
6?2?3??π???π?π??长度后得到的图象对应的解析式为y＝sin?2?x＋?－?＝sin?2x＋?.故选B.
3?2?6????
(3)将函数f(x)＝2sincoscos φ＋?2cos－1?·sin φ＝sin xcos φ＋cos xsin φ2?22?＝sin(x＋φ)的图象向左平移
π
个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝3
xx?
2
x?
?π??π?sin?x＋＋φ?.由g(x)＝sin?x＋＋φ?的图象关于y轴对称，可得g(x)为偶函数，故φ33????
πππππ
＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，故φ＝，可得函数g(x)＝326262π3?π??π?sin?x＋?，g??＝sin＝.
2?32??6?
[答案] (1)B (2)B (3)A
[方法技巧]
1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法 字母 确定途径 由最值确定 说明 A A＝最大值－最小值 2B 由最值确定 B＝最大值＋最小值 2相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个ω 由函数的 周期确定 周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的12π绝对值为个周期，ω＝ 4T一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解 φ 由图象上的 特殊点确定 2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略
[演练冲关]
2π??1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin?2x＋?，则下面结论正确
3??的是( )
π
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6个单位长度，得到曲线C2
π
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
12个单位长度，得到曲线C2
1π
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
26单位长度，得到曲线C2
1π
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个
212单位长度，得到曲线C2
?π?解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin?x＋?，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来
2??
π?1π?的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin?2x＋?的图象，再把所得函数的图象向左平移个2?212?2π???π?π??单位长度，可得函数y＝sin?2?x＋?＋?＝sin?2x＋?的图象，即曲线C2.
3????12?2?
π??2．(2019届高三·金华十校联考)已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(x∈R，ω>0)与g(x)
3??π??＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h(x)＝cos?ωx＋?的图象，只需将y＝f(x)3??的图象( )
π
A．向左平移个单位长度
4π
C．向左平移个单位长度
2
π
B．向右平移个单位长度
4π
D．向右平移个单位长度
2
π??解析：选A 函数f(x)＝sin?ωx＋?与g(x)＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同， 3??π??则ω＝2，且f(x)＝sin?2x＋?， 3??
π?ππ?5π????又h(x)＝cos?2x＋?＝sin?2x＋＋?＝sin?2x＋?，
3?32?6????π?π?把f(x)＝sin?2x＋?的图象向左平移个单位长度， 3?4?5π???π?π??可得y＝sin?2?x＋?＋?＝sin?2x＋?＝h(x)的图象． 4?3?6????3.(2019届高三·镇海区校级模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋
φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，
为了得到g(x)＝Acos ωx的图象，需将函数y＝f(x)的图象最少向左平移________个单位长度．
解析：由图象可得A＝2，
Tπ?π?π
∵＝－?－?＝， 23?6?2
∴T＝π，ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)， 将?
?π，2?代入得sin?2π＋φ?＝1，
??3??3???
π?π?∵－π<φ<0，∴φ＝－，f(x)＝2sin?2x－?.
6?6?
??π?π??π?∵f?x＋?＝2sin?2?x＋?－?＝2cos 2x＝g(x)，
3?6?3????
π
∴可将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，
3ππ
故答案为－，.
63ππ
答案：－
63
4.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
2ππ
解析：由题意得，A＝3，T＝4＝，ω＝.
ω2又∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
ππ
∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵0<φ<π，则φ＝，
22
?ππ?∴f(x)＝3cos?x＋?，∴f(1)＝－3.
2??2
答案：－3
考点(二) 三角函数的性质及应用 主要考查三角函数的奇偶性及对称性、周期性或求函数的单调区间，以及根据函数的单调性、奇偶性、周期性等求参数或取值范围. [典例感悟]
π??[典例] (1)函数f(x)＝sin?πx＋?，x∈[－1,1]，则( )
2??A．f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递减 B．f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递增 C．f(x)为奇函数，且在[－1,0]上单调递增 D．f(x)为奇函数，且在[－1,0]上单调递减
(2)已知函数f(x)＝sin xcos 2x，则下列关于函数f(x)的结论中，错误的是( ) A．最大值为1
π
B．图象关于直线x＝－对称
2C．既是奇函数又是周期函数 D．图象关于点?
?3π，0?中心对称
?
?4?
π?ππ?(3)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|≤?，x＝－为f(x)的零点，x＝为2?44?
?y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在?，
A．11 C．7
π5π??上单调，则ω的最大值为( )
?1836?
B．9 D．5
π??[解析] (1)∵函数f(x)＝sin?πx＋?＝cos πx，故函数f(x)为偶函数，故排除C、2??D.当x∈[0,1]时，πx∈[0，π]，函数y＝cos πx是减函数，故排除B，选A.
3π
(2)∵函数f(x)＝sin xcos 2x，当x＝时，f(x)取得最大值为1，故A正确；当x2ππ
＝－时，函数f(x)＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x＝－对称；故B正确；函
22数f(x)满足f(－x)＝sin(－x)cos(－2x)＝－sin xcos 2x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，再根据f(x＋2π)＝sin(x＋2π)cos[2(x＋2π)]＝sin xcos 2x，故f(x)的周期为2π，故C正确；由于f?
?3π－x?＋f(x)＝－cos x·cos(3π－2x)＋sin xcos 2x＝cos xcos 2x＋sin
?
?2?
?3π，0?中心
?
?4?
xcos 2x＝cos 2x(sin x＋cos x)＝0不一定成立，故f(x)图象不一定关于点?
对称，故D不正确，故选D.
π
－ω＋φ＝kπ，k∈Z，??4
(3)由题意得?ππ
ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，??42
1
1
2
2
π
且|φ|≤，
2
则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝
ππ或φ＝－. 44
对比选项，将选项各值依次代入验证：
π?π??π3π?若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin?11x－?，f(x)在区间?，?上单调递增，
4?4??1844?在区间?
?3π，5π?上单调递减，不满足f(x)在区间?π，5π?上单调；
??1836??4436???
π?π??π5π?若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin?9x＋?，满足f(x)在区间?，?上单调递
4?4??1836?减，故选B.
[答案] (1)A (2)D (3)B
[方法技巧]
1．求函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，
ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单
调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
2π(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的
|ω|π
最小正周期为.
|ω|
1
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的
211
对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
42
[演练冲关]
?π?1．(2018·浙江十校联考)下列四个函数中，以π为最小正周期，在?0，?上单调递
2??
减且为偶函数的是( )
A．y＝sin|x| C．y＝|tan x|
B．y＝cos|x| D．y＝－ln|sin x|
?π?解析：选D 由题意知函数y＝sin|x|在?0，?上单调递增，y＝cos|x|的最小正周期
2???π?为2π，y＝|tan x|在?0，?上单调递增，故排除A、B、C.因为f(x)＝|sin x|为偶函数，
2???π??π?且当x∈?0，?时单调递增，所以y＝－ln|sin x|为偶函数，且当x∈?0，?时单调递减，
2?2???
又g(x)＝sin x的最小正周期为2π，所以f(x)＝|sin x|的最小正周期为π，则函数y＝－ln|sin x|的最小正周期为π.故选D.
π?111?2．已知函数f(x)＝sin?ωx－?＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α6?222?3π
－β|的最小值为，则函数f(x)的单调递增区间为________．
4
113πT3π2π
解析：由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，
22444ω2π2πππ?2π?1
所以ω＝，所以f(x)＝sin?x－?＋.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－
6?2323622?3
?π?＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为?－＋3kπ，π＋3kπ?，k?2?
∈Z.
?π?答案：?－＋3kπ，π＋3kπ?，k∈Z
?2?
π??3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|≤?图象的相邻两条对称轴之间的距
2??
?ππ?离为π，则ω＝________，若f(x)>1对任意的x∈?－，?恒成立，则φ的取值范围?123?
是________．
π??解析：∵函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|≤?图象的相邻两条对称轴之间的距2??2π
离为π，∴＝2π，ω＝1，f(x)＝2sin(x＋φ)．
ωπ?ππ??π?∵当x∈?－，?，即x＋φ∈?－＋φ，＋φ?时，f(x)>1恒成立， 3?123??12?
π1ππ?π?∴当x＋φ∈?－＋φ，＋φ?时，sin(x＋φ)>恒成立，又|φ|≤，∴－＋
32212?12?
φ≥，且＋φ≤
π
6π35πππ，解得≤φ≤. 642
?ππ?答案：1 ?，?
?42?
考点(三) 三角函数的值域与最值问题 [典例感悟]
[典例] (1)函数f(x)＝cos 2x＋6cos?A．4 C．6
的值域或最值求参数. 主要考查求三角函数的值域或最值，以及根据函数?π－x?的最大值为( )
??2?
B．5 D．7
π??π??(2)函数f(x)＝sin?2x＋?在?0，?上的值域为________．
3??2??
?π?其中x∈?－π，a?，若f(x)的值域
(3)(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin?x＋?，?3?6????
?1?是?－，1?，则实数a的取值范围是________． ?2?
?π?2
[解析] (1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos?－x?＝cos 2x＋6sin x＝1－2sinx＋6sin x＝
?2?
3?211?－2?sin x－?＋，
2?2?
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5. π?π4π??π?(2)∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?，
2?3?3?3?πππ
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
3212π4ππ3
当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－，
3322∴f(x)∈?－
??3?，1?. 2?
π?π?π?π?(3)由x∈?－，a?，知x＋∈?－，a＋?.
6?6?6?3?π?ππ??1?∵x＋∈?－，?时，f(x)的值域为?－，1?，
6?62??2?ππ7ππ
∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.
2663[答案] (1)B (2)?－??3??π?，1? (3)?3，π?
??2?
[方法技巧]
求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法 三角函数类型 求值域(最值)方法 先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值) 可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值) 可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值) 一般可看成过定点的直线与圆上动点连线的斜率问题，利用数形结合求解 y＝asin x＋bcos x＋c y＝asin2x＋bsin x＋c y＝asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋c cos x＋ay＝ sin x＋b [演练冲关]
?π?1．已知函数y＝2cos x的定义域为?，π?，值域为[a，b]，则b－a的值是( ) ?3?
A．2
B．3
C.3＋2 D．2－3
1??π?所以cos ?解析：选B 因为x∈?，π?，x∈?－1，?，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，2??3??所以b－a＝3.
?π7π?2
2．当x∈?，?时，函数y＝3－sin x－2cosx的最小值是________，最大值是
6??6
________．
1?27?22
解析：y＝3－sin x－2cosx＝3－sin x－2(1－sinx)＝2?sin x－?＋.
4?8?
?π7π??1?∵x∈?，?，∴sin x∈?－，1?.
6??6?2?
17
∴当sin x＝时，ymin＝，
48
1
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
27答案： 2
8
π?π???π??3．(2018·南宁模拟)已知函数f(x)＝cos?3x＋?，其中x∈? ，m??m∈R且m>?，3?6???6??若f(x)的值域是?－1，－
?
?3?
?，则m的取值范围是________． 2?
5π3?π?可知5π≤3x＋π≤3m＋π，?π??2π?解析：由x∈?，m?，∵f??＝cos＝－，且f??
63362?6??6??9?＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是?－1，－
答案：?
?
?π7π2π5π3?
需要π≤3m＋≤，即≤m≤. ?，
369182?
?2π，5π?
18??9?
[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 在单调性 在[－π＋2kπ，在 ?－π＋2kπ，π＋2kπ?2kπ](k∈Z)上单调递?－π＋kπ，π＋kπ??2???22??增；在[2kπ，π＋?2?(k∈Z)上单调递增；在2kπ](k∈Z)上单调递(k∈Z)上单调递增 ?π＋2kπ，3π＋2kπ?减 ?2?2??(k∈Z)上单调递减 对称中心：(kπ，0)(k对称性 π∈Z)；对称轴：x＝＋2对称中心：?π＋kπ，0?(k∈Z)；?2???对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：?∈Z) ?kπ，0?(k??2?kπ(k∈Z) 2.三角函数的两种常见的图象变换
(二) 二级结论要用好
1．sin α－cos α＞0?α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin
α－cos α＞1)．
2．sin α＋cos α＞0?α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．
(三) 易错易混要明了
求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
?π??π?如求函数f(x)＝2sin?－x?的单调减区间，应将函数化为f(x)＝－2sin?x－?，转
3??3???π?化为求函数y＝sin?x－?的单调增区间．
3??
[课时跟踪检测]
A组——10＋7提速练
一、选择题
π??1．函数f(x)＝tan?2x－?的单调递增区间是( ) 3??A.?B.?
?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z) ?12??2122
?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z) ?12??2122
π2π??C.?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)
63??
π5π??D.?kπ－，kπ＋?(k∈Z) 1212??
πππkππkπ5π
解析：选B 由kπ－<2x－ 232212212π???kππkπ5π?函数f(x)＝tan?2x－?的单调递增区间为?－，＋?(k∈Z)，故选B. 3?12???2122 2．为了得到函数y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点( ) A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 1 B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度 2C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 1 D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度 2 1 解析：选B 将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍得到y＝3sin 2x的图象， 2再将y＝3sin 2x的图象再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B. π??3.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?x∈R，ω>0，|φ| π??A．f(x)＝sin?2x＋? 4??π??C．f(x)＝sin?4x＋? 4?? π?? B．f(x)＝sin?2x－? 4??π?? D．f(x)＝sin?4x－? 4?? 2π?3ππ? 解析：选A 由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为T＝＝?－?×4＝π，所 8?ω?8以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．又函数f(x)的图象经过点? ?π，1?，所以sin?π＋φ?＝ ??4??8??? πππππ 1，则＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即 42424π??函数f(x)＝sin?2x＋?，故选A. 4?? π?π?4．(2018·宁波模拟)将函数y＝sin?2x－?的图象向左平移个单位长度，所得函数3?4?图象的一条对称轴方程是( ) 2π A．x＝ 3πC．x＝ 3 π B．x＝－ 125π D．x＝ 12 π?π?解析：选A 将函数y＝sin?2x－?的图象向左平移个单位长度，可得y＝3?4?ππ?π?ππkππ??sin?2x＋－?＝sin?2x＋?的图象，令2x＋＝kπ＋，求得x＝＋，k∈Z，可 23?6?6226??得所得函数图象的对称轴方程为x＝2π 称轴方程为x＝，故选A. 3 5．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图 kππ 2 ＋，k∈Z，令k＝1，可得所得函数图象的一条对6 ?1?象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f??＝( ) ?6? A．2 C.3 2 B．－2 D．－ 3 2 π 解析：选B ∵函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝，f(x) 212π ＝－4sin ωx.∵A(a,0)，B(b，0)是其图象上两点，|a－b|的最小值是1，∴×＝1， 2ωπ?1?∴ω＝π，f(x)＝－4sin πx，则f??＝－4sin＝－2. 6?6? 6．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f?＝2，f? ?5π? ??8? ?11π?＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( ) ??8? 211π B．ω＝，φ＝－ 31217π D．ω＝，φ＝ 324 2π A．ω＝，φ＝ 312111π C．ω＝，φ＝－ 324解析：选A 法一：由f?得 ?5π?＝2， ??8? 5ππ ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，① 82 由f? ?11π?＝0，得11πω＋φ＝k′π(k′∈Z)，② ?8?8? 24 由①②得ω＝－＋(k′－2k)． 33 2π2 又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝. ω32π 又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合． 312法二：∵f?∴ ?5π?＝2，f?11π?＝0，且f(x)的最小正周期大于2π， ??8??8??? 11π5πT－＝(2m＋1)，m∈N， 884 3π∴T＝，m∈N， 2m＋1 ∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π， 2π2?2?∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin?x＋φ?. 3π3?3? π?25π?由2sin?×＋φ?＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z. 12?38?π 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A. 12 7．若把函数y＝2cos x(cos x－3sin x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( ) A.C.π 3π 6 B.D.2π 35π 6 2 解析：选A 法一：y＝2cos x(cosx－3sin x)＝2cosx－23sin xcos x＝1＋cos 2x5π??－3sin 2x＝1＋2sin?2x＋?，该函数的图象向左平移m个单位长度后，所得图象对应6??的函数为y＝1＋2sin?2 ? ? x＋m＋ 5π?5π?5ππ?＝1＋2sin?2x＋2m＋?，由题意知2m＋＝＋?6?6?62? 3 kπππ kπ，k∈Z，解得m＝－，k∈Z，取k＝1，得到m的最小值为，故选A. 2 6 法二：y＝2cos x(cos x－3sin x)＝2cosx－23sin xcos x＝1＋cos 2x－3sin 2x5π?5ππkππ?＝1＋2sin?2x＋?，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝－，k∈Z，则原函数的图6?6226? 2 象在x轴右侧且离y轴最近的一条对称轴为直线x＝ π .因为原函数的图象向左平移m(m>0)3 π 个单位长度后得到的图象关于y轴对称，所以m的最小值为，故选A. 3 8．(2019届高三·温州期中)设α是三角形的一个内角，在sin α，sin，cos α， 2cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是( ) 2 A．2 C．4 B．3 D．5 αα解析：选A ∵α是三角形的一个内角， παπ 若0<α<，则0<<，0<2α<π. 224 ∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos 2α22与tan 2α； παπ 若α＝，则＝，2α＝π. 224 ∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中为负数的是cos 2α； 22π3ππα3π3π 若<α≤，则<≤，π<2α≤. 244282 ∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与 22cos 2α； 若 3π3παπ3π <α<π，则<<，<2α<2π. 48222 αααααα∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与 22tan 2α. ∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是222个．故选A. π 9．已知x＝是函数f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称 12轴，将函数f(x)的图象向右平移 3π 个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在4 αααα?－π，π?上的最小值为( ) ?46??? A．－2 C．－2 B．－1 D．－3 ππ?2x＋＋φ?解析：选B f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin?.∵x＝是f(x)?612??πππππ??＝2sin?2x＋＋φ?图象的一条对称轴，∴2×＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋ 612626?? kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin?2x＋?，∴g(x)＝2sin?2?x－4?＋?3?6?3???? π???ππ??π?＝－2sin?2x－?，则g(x)在?－，?上的最小值为g??＝－1，故选B. 6???46??6? ππ??10．(2019届高三·浙江六校联考)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)?ω>0，－<θ π ，将函数f(x)＝3sin(ωx＋2 π ? π??? 3π?π? ππ??θ)?ω>0，－<θ0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若 ? 2 2? f(x)，g(x)的图象都经过点P?0， A.C.π 43π 2 ??32? ?，则φ的一个可能值是( ) 2? B.D.5π 47π 4 ππ??解析：选D 由函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)?ω>0，－<θ 轴之间的距离为，得函数f(x)的最小正周期为π，则π＝，所以ω＝2，函数f(x) 2ωπ??π ＝3sin(2x＋θ)?－<θ 2??22?32? 2φ)的图象，因为f(x)，g(x)的图象都经过点P?0，，所以sin θ＝，sin(θ－2φ)?22??＝ 2πππ2ππ?π?，又－<θ<，所以θ＝，所以sin?－2φ?＝，所以－2φ＝2kπ＋(k222444?4?2 π3ππ ∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因为 444 φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是 二、填空题 7π .故选D. 4 ?π??π??π?11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f?＋x?＝f?－x?，则f??＝?6??6??6? ________. ?π??π?解析：函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f?＋x?＝f?－x?，则其图象的一?6??6? π?π?条对称轴为x＝，所以f??＝±2. 6?6? 答案：±2 12．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f(2)＝1，f(4) ?1?＝－1，则ω＝________，f(x)在区间?，3?上的值域是________． ?2? π 解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝， 2 ?π?∴f(x)＝sin?x＋φ?.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1， ?2? π ∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 2 ππ?π?又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin?x－?. 2?2?2ππ?π?1??由x∈?，3?，得x－∈?－，π?， 22?4?2??ππ??2??∴sin?x－?∈?－，1?， 2??2?2? 2???1?即f(x)在区间?，3?上的值域为?－，1?. ?2??2?π?2? 答案： ?－，1? 2?2? ?π?13．(2018·金华模拟)已知函数f(x)＝4sin xsin?x＋?，则函数f(x)的最小正周期 3?? T＝________，在区间?0，?上的值域为________． 2 ?? π?? ππ??π??2 解析：函数f(x)＝4sin xsin ?x＋?＝4sin x?sin xcos＋cos xsin?＝2sinx＋ 3?33???π??23sin xcos x＝3sin 2x－cos 2x＋1＝2sin?2x－?＋1， 6?? 函数f(x)的最小正周期T＝ 2π ＝π. 2 π?π5π??π?∵x∈?0，?，∴2x－∈?－，?. 2?6?6?6?π?1?∴－ 6?2? ∴0 ππ 14．设P为函数f(x)＝sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)＝cosx的图象 22上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________． 2π 解析：由题意知两个函数的周期都为T＝＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x) π21 的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设 4 P(x0,1)，则Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝ 答案：5 x0＋1－x0 2 ＋－1－1 2 ＝5. 15．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(填序号) ①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2； ②f(x)的最小正周期是2π； ?ππ?③f(x)在区间?－，?上是增函数； ?44? ④f(x)的图象关于直线x＝ 3π 对称． 4 1 解析：因为f(x)＝cos xsin x＝sin 2x，所以f(x)是周期函数，且最小正周期为T＝ 22πππππ＝π，所以①②错误；由2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k22244πππ∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，此时f(x)是增函数，所以③正确；由2x＝＋kπ(k∈Z)， 442πkπ3π 得x＝＋(k∈Z)，取k＝1，则x＝，故④正确． 424 答案：③④ 16．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________． 解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cosx－1) ＝2(2cosx＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)． ∵cos x＋1≥0， 1 ∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 2 2 2 1 当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 21 ∴当cos x＝，f(x)有最小值． 2 又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)， ∴当sin x＝－ 3 时，f(x)有最小值， 2 333??1? ?×?1＋2?＝－2. ?2?? 即f(x)min＝2×?－33 答案：－ 2 ?? π??2 17．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋1?A>0，ω>0，0<φ 2??图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝________. 1＋cos2ωx＋2φA2 解析：∵函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋1＝A·＋1＝cos(2ωx＋ 22π?A?AA2φ)＋1＋?A>0，ω>0，0<φ 2?2?222ππ 邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝.再根据f(x) 2ω4π 的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<， 2πππ?ππ?∴2φ＝，φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cos?x＋?＋2＝－sinx＋2，∴f(1) 2?242?2＋ f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－ ?sinπ＋sin2π＋sin3π＋…＋sin2 017π＋sin2 018π?＋2×2 018＝504×0－sinπ－ ?22222?2?? sin π＋4 036＝0－1－0＋4 036＝4 035. 答案：4 035 B组——能力小题保分练 1?π??π?1．曲线y＝2cos?x＋?cos?x－?和直线y＝在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大 4??4?2?的顺序依次记为P1，P2，P3，…，则|P3P7|＝( ) A．π C．4π B．2π D．6π ?π??π?22 解析：选B y＝2cos?x＋?cos?x－?＝cosx－sinx＝cos 2x，故曲线对应的函数为 4??4?? 1?π??π?周期函数，且最小正周期为π，直线y＝在y轴右侧与函数y＝2cos?x＋?·cos?x－?在 4?4?2??每个周期内的图象都有两个交点，又P3与P7相隔2个周期，故|P3P7|＝2π，故选B. π??2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ| 2??象如图所示，则( ) 2π A．f(x)的图象关于直线x＝－对称 3 ?5π?B．f(x)的图象关于点?－，0?对称 ?12? ?π?C．若方程f(x)＝m在?－，0?上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，?2? －3 ] π?π?D．将函数y＝2sin?2x－?的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象 6?6?2π?ππ??π?解析：选C 由题图可知，A＝2，T＝4×?－?＝π，∴ω＝＝2.又f??＝2， T?312??12?∴2sin? ?π＋φ?＝2，π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， ?62?6? ππ ∵|φ|<，∴φ＝， 23 π??∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin?2x＋?， 3??2π?2π?π ∴当x＝－时，2×?－?＋＝－π， 3?3?3 f?－ ?2π?＝2sin(－π)＝0， ??3? 2π?2π?从而f(x)的图象关于点?－，0?对称，而不是关于直线x＝－对称，故A不正确； 3?3?5ππ?5π?π 当x＝－时，2×?－?＋＝－， 122?12?3 5π?5π?∴f(x)的图象关于直线x＝－对称，而不是关于点?－，0?对称，故B不正确； 12?12?π?2ππ??π?当x∈?－，0?时，2x＋∈?－，?，f(x)∈[－2, 3 ]，结合正弦函数图象的 3?3?3?2? ?π?性质，可知若方程f(x)＝m在?－，0?上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－ ?2? 2，－3 ]，故C正确； π?π?根据图象平移变换的法则，可知应将y＝2sin?2x－?的图象向左平移个单位长度得6?4?到f(x)的图象，故D不正确．故选C. 3．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数： ①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝2(sin x＋cos x)； ③f(x)＝sin x；④f(x)＝2sin x＋2. 其中互为生成函数的是( ) A．①② C．③④ B．①④ D．②④ ?π?解析：选B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f(x)＝2sin?x＋?，②f(x) 4???π?＝2sin?x＋?，可知③f(x)＝sin x的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完 4?? 成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f(x)＝sin x不与其他函数互为生成函数；同理① π?π?f(x)＝2sin?x＋?(④f(x)＝2sin x＋2)的图象与②f(x)＝2sin?x＋?的图象也必须 44 ?? ? ?? ? 经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝2sin x＋2的图象向左平移 π 个单位长度，再向下4 ?π?平移2个单位长度即可得到①f(x)＝2sin?x＋?的图象，∴①④互为生成函数，故选B. 4?? 4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x2π ＝时，函数f(x)取得最小值，则( ) 3 A．f(1) B．f(0) 2π 解析：选C 因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，故 π f(x)＝Asin(2x＋φ)，因为当x＝ 2π2π 时，函数f(x)取得最小值，所以2×＋φ＝2kπ－33 π11ππ ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，又φ>0，故可取k＝1，则φ＝，故f(x)＝266 Asin?2x＋?，所以f(－1)＝Asin?－2＋?<0，f(1)＝Asin?2＋?>0，f(0)＝Asin＝666 ?? π?? ?? π?? ?? π? ? π162 ??????A>0，故f(－1)最小．又sin?2＋?＝sin?π－2－?＝sin?－2?>sin，故f(1)>f(0)．综 6?6?6???6? 上可得f(－1) ππ5ππ π??5．若函数f(x)＝2sin?ωx＋?(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋4?? φ)?|φ| 2 ?? π? ? ________. π??解析：因为函数f(x)＝2sin?ωx＋?(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋4?? φ)?|φ| 2 ?? π?? 2π2π＝，所以ωω2 π?ππkππ?＝2，故函数f(x)＝2sin?2x＋?.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故 4?4228?函数f(x)的图象的对称轴为x＝ kππ mπφ＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m2822 mπφ2－2 ，m∈Z，故 π 2 ∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝ π4 kππmπφnπ 2＋8－2＋2＝2 π4 ，m，n， k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－. 答案：x＝ kππ π ＋，k∈Z － 284 6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点 ?－π，0?到其相邻的一条对称轴的距离为π，若 ?12?4?? 小值为________． f??＝，则函数f(x)在?0，?上的最 122 ?π?3??2 ?? π? ? π2π 解析：由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2. 4ω?π?因为点?－，0?在函数f(x)的图象上， ?12???π??所以Asin?2×?－?＋φ?＝0， ??12?? ππ 解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝. 66 ?π?3?ππ?3 因为f??＝，所以Asin?2×＋?＝， ?12?2?126?2 π??解得A＝3，所以f(x)＝3sin?2x＋?. 6??π?π?π7π??0，当x∈?时，2x＋∈?，?， 2?6?6?6??π??1??所以sin?2x＋?∈?－，1?， 6??2?? 所以f(x)的最小值为－答案：－ 3 2 3. 2 第三讲 小题考法——三角恒等变换与解三角形 考点(一) 三角恒等变换与求值 主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题.多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式. [典例感悟] 5310?π??π?[典例] (1)已知α∈?0，?，β∈?0，?，满足cos α＝，sin β＝，则 2?2?510?? α＋β的值为( ) A.C. π 43π 4 B.D.π3π或 44π ＋2kπ 4 tanα＋β＋γ(2)已知m＝，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m＝( ) tanα－β＋γ1A. 23C. 2 3B. 4 D．2 ππβ?β?ππ13????＋α－α＋(3)若0<α<，－<β<0，cos??＝3，cos?42?＝3，则cos??＝ 2?22?4????( ) A.C.3 353 9 B．－ D．－ 3 36 9 ππ [解析] (1)∵0<α<，0<β<， 22满足cos α＝5310，sin β＝， 510 251022 ∴sin α＝1－cosα＝，cos β＝1－sinβ＝， 510 则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ππ ∵0<α<，0<β<， 22∴0<α＋β<π，∴α＋β＝ 3π ，故选C. 4 510253102×－×＝－， 5105102 (2)设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos Asin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B，所以m＝ πππ3π (3)∵0<α<，∴<α＋<. 2444 tan A＝2. tan B?π?1∵cos?＋α?＝， ?4?3?π?22. ∴sin?＋α?＝ ?4?3 πππβπ∵－<β<0，∴<－<. 244223?πβ?∵cos?－?＝， ?42?36?πβ?∴sin?－?＝. ?42?3 β????π??πβ??∴cos?α＋?＝cos??＋α?－?－?? 2????4??42?? ?π??πβ??π??πβ?＝cos?＋α?cos?－?＋sin?＋α?sin?－? ?4??42??4??42? 1322653＝×＋×＝. 33339[答案] (1)C (2)D (3)C [方法技巧] 1．三角恒等变换的策略 (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sinθ＋cosθ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sinα＋2cosα＝(sinα＋cosα)＋cosα，α＝(α－ 2 2 2 2 2 2 2 β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．解决条件求值问题的关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某个三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小． [演练冲关] 1 1．(2018·湖州期末)已知sin θ＋cos θ＝，则sin 2θ等于( ) 5A.C.24 2512 25 24 B．－ 2512 D．－ 25 112 解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)＝， 525124 ∴1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝－. 2525 π?4?2．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan?α＋?4?5?＝( ) A．7 C．－7 1 B． 7 1 D．－ 7 解析：选B sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α44 －β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝，即cos α＝－.又α为第二象限角， 55π?1＋tan α13?∴tan α＝－，∴tan?α＋?＝＝. 4?1－tan α74? 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，π??则sin?2θ＋?的值为( ) 4?? 72 A．－ 10C．－2 10 72B． 10D．2 10 52tan θ，所以tan 2θ＝251－tanθ解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±π?434?2 ＝－，cos 2θ＝2cosθ－1＝－，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝，所以sin?2θ＋?4?355? ＝ 22?43?2 (sin 2θ＋cos 2θ)＝×?－?＝，故选D. 22?55?10 考点(二) 利用正、余弦定理解三角形 主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，有时也与三角恒等变换相结合考查. [典例感悟] [典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( ) πA． 12πC． 4 πB． 6πD． 3 (2)(2018·下城区校级模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 a2＝b2＋c2－bc，且sin B＝3cos C，则下列结论中正确的是( ) πA．A＝ 6πC．C＝ 2 B．c＝2a D．△ABC是等边三角形 (3)(2018·洛阳统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝25，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________. [解析] (1)因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0， 所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1， 因为A∈(0，π)，所以A＝ 3π， 4 2×222 由正弦定理得sin C＝ c·sin A＝a1＝， 2 ππ 又0＜C＜，所以C＝. 46 (2)在△ABC中，由a＝b＋c－bc， 2 2 2 b2＋c2－a21 得cos A＝＝，∴A＝60°. 2bc2 ∵sin B＝3cos C，∴sin(120°－C)＝3cos C， 可得31 cos C＋sin C＝3cos C，即tan C＝3. 22 ∴C＝60°.∴△ABC是等边三角形． 125(3)依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝25·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝. 25又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝ 1－sin∠ACD＝ 2 5 .在△ACD中， 5 AD＝ CD2＋AC2－2CD·AC·cos∠ACD＝4， ADsin∠ACD＝ CDsin A，则sin A＝ CD·sin∠ACD5 ＝. AD5 ACBCAC·sin A在△ABC中，＝，则BC＝＝4. sin Bsin Asin B[答案] (1)B (2)D (3)4 [方法技巧] 解三角形问题的求解策略 已知条件 解题思路 由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及sin Asin Bsin Cabc两角A，B与一边a b，再求出c 两边b，c及其夹角A 三边a，b，c 由a＝b＋c－2bccos A，先求出a，再求出角B，C 由余弦定理可求出角A，B，C 由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝sin Asin B两边a，b及其中一边的对角A π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，而通sin Asin C过 [演练冲关] 45 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则 513 ＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况 sin Asin B222abacabb＝( ) A.21 13 7B． 5 C. 12 1323D． 12 453 解析：选A 因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin 5135 C＝，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋× 63asin B63521 ＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝. 65sin A65313 121335513412513 2．(2019届高三·杭州七校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，△ABC面积的最大值为3，则角B的值为( ) A.C.2π 3π 6 2 πB． 3πD． 4 2 解析：选B 由余弦定理得4＝a＋c－2accos B≥2ac－2accos B＝2ac(1－cos B)，当且仅当a＝c时取等号，所以ac≤ 2112sin B11 ，S△ABC＝acsin B≤×＝，即 1－cos B221－cos BBBtantan22 π ＝3，所以B为. 3 π 3．(2018·台州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝， 3 a＝7，b＝5，点D满足BD＝2DC，则c＝________；|AD|＝________. π 解析：如图，∵∠A＝，a＝7，b＝5， 3∴由余弦定理，a＝b＋c－2bccos A， 1222 可得7＝5＋c－2×5×c×， 2整理解得c＝8或－3(舍去)． 2 2 2 ―→―→ a2＋c2－b249＋64－2511 ∴cos B＝＝＝， 2ac2×7×814 214―→―→ ∵点D满足BD＝2DC，可得BD＝a＝， 33 14?14?2222 ∴在△ABD中，由余弦定理可得，AD＝BD＋c－2BD·c·cos B＝??＋64－2× 3?3?11244 ×8×＝. 149 261 解得AD＝. 3答案：8 考点(三) 正、余弦定理的实际应用 [典例感悟] [典例] (1)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车 从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1，2≈1.414，5≈2.236)． (2)(2019届高三·安徽名校联考)已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距岛A有________千米． [解析] (1)因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠ 问题，考查正弦、余弦定理等知识和方法的运用. 主要是以实际生活为背景所命制的与测量和几何计算有关的261 3 BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝AD100AD100 ＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝1002.在△ABC中， cos∠BADcos 60°cos∠CADcos 45° 由余弦定理，得BC＝AC＋AB－2AC·AB·cos∠BAC，即(14v)＝(1002)＋200－2×10025010×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s. 7 (2)由已知可求得AB＝3，AC＝ 330，BC＝， 33 2 2 2 2 2 2 31010 ∴sin∠ACB＝，cos∠ACB＝，则∠ACB为锐角，∠ACD为 101031010 钝角，且sin∠ACD＝，cos∠ACD＝－. 1010 在△ACD中，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACDcos∠DAC＋sin∠DACcos∠ACD330－10 ＝， 20 由正弦定理可求得AD＝ ACsin∠ACD9＋3 ＝. sin∠ADC13 9＋3 [答案] (1)22.6 (2) 13 [方法技巧] 解三角形实际问题的常见类型及解题思路 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． [演练冲关] 1.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( ) A.C. 3＋62 km 46＋32 km 4 B.D. 3－62 km 46－32 km 4 解析：选D 如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝3，故△ ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，从而△ADC为等 腰三角形，且∠ADC＝150°，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x＋ 2 x2＋3x2＝3，即x2＝ 11 ＝3(2－3)．所以所求小区的面积为×1×3＋×3(2－ 222＋3 3 123＋6－336－32 3)×＝＝(km)． 244 2．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取 2＝1.4, 3＝1.7) 解析：如图，作CD垂直于AB交AB的延长线于点D，由题意知∠ A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°.又在△ABC中，AB＝50×420 ＝21 000，由正弦定理，得 ＝， sin ∠Asin∠ACBBCAB21 000∴BC＝×sin 15°＝10 500(6－2)． 12∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(6－2)×山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 650 [必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β③tan(α±β)＝ . 1?tan αtan β辅助角公式：asin α＋bcos α＝a＋bsin(α＋φ)． (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα. 1－cos 2α1＋cos 2α22 降幂公式：sinα＝，cosα＝. 222tan α③tan 2α＝ . 2 1－tanα2．正弦定理 ＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． sin Asin Bsin C＝＝ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R2 2 2 2 2 2 2 ＝10 500(3－1)＝7 350.故2 abcabca∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 3．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2bc2ac2ab4．三角形面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. (二) 二级结论要用好 1．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 2．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°. 3．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列． 4．S△ABC＝ 1 21212 abc(R为△ABC外接圆半径)． 4R(三) 易错易混要明了 1．对于三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三 ?π?角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是?0，?，选正、余弦皆可；若角的范围是(0， 2???ππ?π)，选余弦较好；若角的范围是?－，?，选正弦较好． ?22? [针对练1] 若α，β为锐角，且sin α＝解析：∵α，β为锐角，sin α＝25310∴cos α＝，cos β＝， 510 253105102 ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0<α5105102＋β<π， π ∴α＋β＝. 4π答案： 4 2．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解．在△ABC中， 510，sin β＝，则α＋β＝________. 510 510，sin β＝， 510 A>B?sin A>sin B. [针对练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝3，A＝π ，则b＝________. 6 解析：由＝，得sin C＝ sin Asin Caccsin A3π2πππ ＝，得C＝或.当C＝时，B＝，a23332
（浙江专用）2019高考数学二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形学案
