『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数
1例已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）= - f（x） （1）证明：f（x）是周期函数，并求最小正周期
（2）当x∈[0,1）时，f（x）=x ，求在 [-1,0）上的解析式 （T=2 ，已求好）（f（x）=-x -1 ，已求好）
**2例f(x)图像满足下列条件，试证明f(x)为周期函数
（1）关于x=a, x=b 对称. （2）关于(a,0), (b,0)对称. （3）关于(a,0),
x=b对称.
*3练对函数f(x),当x∈（-∞，+∞）时，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),证明函数y=f(x)为周期函数,并求出最小正周期
f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10
推广该题，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数，证明同上面类似
4例设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问： f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函数若是,求出它们的周期 f(x)的周期为2，--->f(x+2m)=f(x) g(x)的周期为3，--->g(x+3n)=g(x)
2与3的最小公倍数是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)
f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是周期为6的周期函数； f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。
高中思维训练班《高一数学》
第4讲----- 函数的对称专题(下)
第5讲----- 对称与周期的关系
『本讲要点』:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系
知识点1:两个函数的图象对称性
性质1：y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 性质2：y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 性质3：y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。
性质4：y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。 性质5：y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点(a,b)对称。 性质6：y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?知识点2:单个函数的对称性
性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)时，函数y?f(x)的图象关于直线x?称。 证明：
性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)?c时，函数y?f(x)的图象关于点（
c）对称。 2a?b，2a?b对2a?b对称。 2证明：
性质3：函数y?f(a?x)的图象与y?f(b?x)的图象关于直线x?证明：
知识点3:对称性和周期性之间的联系
性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求证：函数
y?f(x)是周期函数。
b?a对称。 2证明：
性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)时，函数
cc（函数y?f(x)图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函y?f(x)是周期函数。
22数y?f(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期） 证明：
性质3：函数y?f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x?b（a≠b）时，该
函数也是周期函数，且一个周期是4(b?a)。 证明：
推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x?a和点(b,0)(a?b)对称，则f(x)是周期函数，4(b?a)是它的一个周期
证明：
性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x?a)?f(x?a),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(x?a)?f(x?a)则f(x)的图象以x?a为图象的对称轴，应注意二者的区别) 证明：
性质5：已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?a?x??f?x??b，则y?f?x?是以
2a为周期的函数
证明：
『例题与习题』:
1例（2005高考·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)?0，
则方程f(x)?0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A．3
B．4
C．5
D．7
*2例 f(x)的定义域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008. 求f(2008)的值。
3练 函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??f?f?5???_______________。
1，若f?1???5,则f?x?解：由f?x?2??11?f(x)，所以f(5)?f(1)??5，则得f?x?4??f?x?f?x?2?11??
f(?1?2)5f?f?5???f(?5)?f(?1)?0?上是增函数，且f(x?2)??f(x). *4例 若函数f(x)在R上是奇函数，且在??1，①求f(x)的周期；
②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x?2k?1轴对称,
(k?Z);
③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；
解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4.
②设P(x,y)是图象上任意一点,则y?f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为
P1(4k?x,?y).P关于直线x?2k?1对称的点为P2(4k?2?x,y)
∵f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y ∴点P2在图象上,图象关于直线x?2k?1对称.
③设1?x1?x2?2，则?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1 ∵f(x)在(?1,0)上递增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*) 又f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2) . 所以：f(x2)?f(x1) ，f(x)在(1,2)上是减函数.
5例 已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数，周期T?5，函数在[1,4]上是二次函y?f(x)(?1?x?1)是奇函数.又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，数，且在x?2时函数取得最小值?5. （1）证明：f(1)?f(4)?0； （2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式； **（3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.
解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[?1,1]上是奇函数，∴
f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)，∴f(1)?f(4)?0.
②当x?[1,4]时，由题意可设f(x)?a(x?2)2?5 (a?0)， 由f(1)?f(4)?0得a(1?2)2?5?a(4?2)2?5?0，∴a?2， ∴f(x)?2(x?2)2?5(1?x?4).
③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函数，∴f(0)?0，
又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)?kx(0?x?1) 而f(1)?2(1?2)2?5??3，
∴k??3，∴当0?x?1时，f(x)??3x，
从而?1?x?0时，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1时，f(x)??3x. ∴当4?x?6时，有?1?x?5?1，∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15. 当6?x?9时，1?x?5?4，
∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]2?5?2(x?7)2?5 ∴f(x)????3x?15,24?x?66?x?9?2(x?7)?5,.
『课后作业』:
6练 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x)，则f(6)的值为（ B ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为f(x)是定义在R上的奇函数
所以f(0)?0，又f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函数，f(x)的周期为4 所以f(6)?f(2)??f(0)?0，选B
7练定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ A ）
（第十二届高中数学希望杯 第二题）
(B)是偶函数，但不是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
(A)是偶函数，也是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
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