2、设函数f(x)在?0，求证：f?(x)?2. 2?有二阶导数，在?0，2?上f(x)?1，f??(x)?1，3、若
???0f(x)dx收敛，limf(x)?0一定成立吗？举例并说明理由.
x????2005?4、求证：lim??f()?x???n??k?15、证明：
n2005nlnf(x)dx. ?e?o2005???0xe?axdx在0?a0?a???上一致收敛，但0?a???上不一致收敛.
上一致连续. ??）x(x?1)在[0，6、给出在I上一直连续的定义，并证明g(x)?7、limx???x2?x?1?ax?b?0,求a,b的值.
8、把f(x)?? 0??1x????，展成fourier级数，并证明：
?0，???0sin3sin(n2?1)????.
2n?1?22
??4?sin1????3?22?9、求
??xdydz?ydzdx?zdxdy,?:(x?a)?(y?b)2?(z?c)2?R2外侧.
22210、Ax?By?2Cz?0是椭圆方程，求证：椭圆的长半轴l?1.其中k是方程kk2?ACn???Ck?B2?0的最小根.
a1?2a2???nan存在，并求之.
n???n11、lim(a1?a2???an)?a,证明:lim1x?0?a?xsin,问a在什么范围内，f(x)在x?0可导：12、f(x)??在什么范围内f(x)在 x x?0??0x?0连续.
13、f(x)?lnx??e1f(x)dx,求?f(x)dx.
1e14、已知f(x)，g(x)在?a,b?上连续，f(x)?0,g(x)不变号，求lim15、f(x)在I上连续，F1(x)?f(x),Fn?1(x)?连续.
上海大学2006年度研究生入学考试题
数学分析
n???a?bnf(x)g(x)dx.
?x1Fn(t)dt (n?1)求证：?Fn(x)?在I上一致
计算 1、 求极限
limx?0xsinx?e?x?1
x422、 求级数
1111???...??...的和。 1?44?77?10(3n?2)?(3n?1)3、 设y=y(x)是由方程ex?y?xy?e确定的隐函数，求y=y(x)的图形在点（0，1）处的切线方
程。 4、 求定积分
x?cosx???21?sin2xdx
2?5、 将f(x)???x(???x??)展开为周期2?的Fourier级数，并由此计算
21 ?2k?1(2k?1)22?6、 设a,b,c是已知的三个正常数，求三元函数f(x,y,z)=ax+by+cz在约束条件x?y?z?1下的最大值和最小值。 一、计算和证明
7、 设0?x1?1,xn?1?xn(1?xn)。证明 ?xn?收敛，并求它的极限。8、 设f(x)在[a,b]上有定义，且在[a,b]的每一点都有有限极限（在区间端点处指单侧极限）。证
明f(x)在[a,b]上有界。 9、若f(x)和g(x)在(??,??)上都一致连续，能否推断出f(x)+g(x)和f(x)g(x)在(??,??)上也一致连续？请给出根据。
10.求z=x2?y2三个坐标平面x2?y2?4所围的体积
x2y2xdy?ydx??1 11.?2，其中 2x?y49xb?xa12.求?dx，b>a>0
0lnx1二、证明
13．设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导，且f(1)=0，证明存在??(0,1) ，使f(?)??f(?)?0 14．f(x)在(0,1]单调,且广义积分'?101nk并确定此极限值。 f(x)dx收敛,证lim?f()存在，
n??nnk?115、设un(x),vn(x)在(a,b)连续，un(x)?vn(x)对?n成立，若
?v(x)在(a,b)点点收敛于
nn?1?
一个连续函数，证明：
?u(x)也必点点收敛于一个连续函数.
nn?1?上海大学2007年度研究生入学考试题
数学分析
1、已知有界函数?xn??,yn?且lim(xn?yn)?0，证明：limxn,limyn是否存在，若存在，说
n??n??n??明理由，若不存在，举例说明.
2、已知f（x）在?0，1?连续，且f(0)?f(1)问是否存在xn使f(xn?)?f(xn)，若存在说明理由.
3、试证明导数的零点定理：f（x）在?a,b?内可导，且f（x）在?a,b?内有两点的导数值反
1n??）（a,b）?0. 号，试证明：???使f（0?x?0?14、已知?（x）且问?（x）在零点的的某邻域内?? (??1)求：??（0）?x?x2sinx?0?x?是否单调？证明你的结论.
5、叙述一致连续的定义，并问f(x)????上是否一致连续？证明你的结论. x2?x在?0，d?g(t)dtax6、叙述在?a,b?上黎曼可积的定义，并问某g(x)在?a,b?上可积，g(x)?立.
dx是否成
7、已知双曲线x?y?1，在双曲线上任取一点，向双曲线的两条渐近线做垂线，使求这两条垂线与渐近线所围成图形的面积. 8、计算：cos?221（可以用分数表示），结果精确到0.01. 10?xn9、若?xn收敛，lim?1.问?yn是否收敛，若收敛证明你的结论，若发散，举出例子.
n??yn?1n?1n10、试叙述一致收敛的定义，并证明：fn(x)?xn在?0，但在?0，b? ?b?1?一1?上不一致收敛，致收敛.
11、（内道积分等于外道积分）内容不详 12、不详
13、已知a0?0 n,m?z,Q(x)?a0?a1x??amx.若limx?0?mnQ(x)?A存在；且等于I.求xA及I的值.
14、若曲面xy?z?0及平面?：x?3y?z?0.问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的
法线与平面?垂直，若存在求出此法线及此点坐标，若不存在，说明理由. 15、试问
???0e?xdx是否收敛，若收敛，求其值.
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上海大学2009年度研究生入学考试题
数学分析
1. liman?0,求limn??a1?2a2?n??n2nan2?0
22.叙述一致连续定义。问g?x??cosx?cosx是否是周期函数？证之 3. f?x?在?1,???可导，f?1??1且f??x??1,证limf?x?存在且极限小于22x???x?f?x?1??4
1204I??sinxdx???,误差<0.0005 x5.f?x??C(0,??)????f?1??3??,?当x,y?0,6. f?x?在?a,b?可积. 正或者恒负。证之
7. xn?在limxn?0?的条件下，试问n???b?xy1f?t?dt?x?f?t?dt?y?f?t?dt,求f?x?
11yx?f?x?dx?0,?是否存在??,????a,b?，使???,??上f?x?为恒
a????1?x收敛吗？证之
nn?1?n8. f?x?在?1,???单减连续可微，limf?x??0,
x??? 证明：当??9.证明：
???1xf?x?dx收敛，则limxf?x??0
x?? fn?x??x?，但gn?x??xS?x??，?n?1,2，…在?0,1?非一致收敛，?n?1,2，…在?0,1?上
nn一致收敛，其中S?x??在?0,1?上连续且S?1??? 10f?x??C?01，，??证明：lim?n?1?x????10xnf?x?dx?f?1?
11a ??ba??f?x???x?dx?0，任意??x??S成立，让f?x?恒为常数 ab12. x? y?z?a??x?0,y?0,z?0,a?0?任取一点做切平面，求该切平面截三坐 标轴所得三线段长度之和 13.中心在原点的Ax2?By2?Cz2?2Dxy?2Eyz?2Fxz?1的长半轴l是下行列式的最大 1???????D?????????F2l1实根???D?????????B??2?????ElA???F????????????E?????????C?2 1l2214.L是从A??1,0?经过x?y?1????y?0?到B?1,0?的线段， 求：I?x?yx?aydx??x2?ay2x2?ay2dy,a?0 215.求f?x???x?1?在?0,1?上展开成余弦级数，并证明 ?26?1?11??2232?1?n2 2010年上海大学数学系硕士研究生招生复试之 《泛函分析初步》试题 一、证明：设?X，??是距离空间，令 ~?x,y?????x,y? 1???x,y?~?也是距离空间. 证明：?X，?二、叙述距离空间X中集合A有界、全有界、准紧、紧的定义，并给出它们之间的关系. 三、设f?C?0,1?，有积分方程 x(t)?f(t)???x(s)ds,x?C?0,1?,??1 0t运用不动点定理，证明解的存在唯一性. 2010年上海大学数学系硕士研究生招生复试之 《近世代数》试题 一、（1）叙述群的定义，列举一例
上海大学数学分析历年考研真题
