一元二次方程复习总结+培优 

一元二次方程复习+培优

一．概念

定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的

形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）

例: 若（m+1）xm(m?2)?1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．

练习：

1、在4(x?1)(x?2)?5,x2?y2?1,5x2?10?0,2x2?8x?0，

x2?3x?4?0,

12222?x2?3,a?2，3x?1?2x?3x，(x?3)(2x?1)?2x中，是x一元二次方程有_________个 。

2

2、要使方程（a-3）x+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________. A．a≠0 B．a≠3

C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0

22

3、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x+x+a-1=0的一个根是0, 则a的值是___________. 4、一元二次方程(x?1)(x?2)?2(x?1)的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

2二．一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有：_____________________________________________________.

例：用适当的方法解下列方程

（1）x2?2x?2?0 （2）3(x?5)?2(5?x)

（3 ）(x?2)(x?1)?10 （4）(x?2)?(6?x)

222（5）(2x?3)?3(2x?3)?4?0 （6）x?(2a?1)x?a?a?0

（7）3x?2(a?2b)x?b?a?0

练习：

1..方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 。

2.方程x?2x?3?0的解是_______________________

223（2015绵阳）关于m的一元二次方程7nm?nm?2?0的一个根为2，则

2222222n2?n?2= ．

4..一元二次方程ax2?bx?c?0的一个根是1，且a,b满足等式b?a?2?2?a?1，求

此一元二次方程。

三．根的判别式

1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: ??b2?4ac

⑴ 当??0时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当??0时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当??0时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。

2．一元二次方程有实数根???0

注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；

(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明??b2?4ac恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方

式+正数”的形式。

1例：已知关于x的方程x2?(2k?1)x?4(k?)?0。

2（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，

求△ABC的周长。

练习：

1.若关于y的一元二次方程ky-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( ) A.k>-2

7777 B.k≥- 且k≠0 C.k≥- D.k> 且k≠0 44442

2.若一元二次方程 2x（kx－4）－x＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ） A.－1 B.2 C.3 D.4

3.当k 时，x?2(k?1)x?k?5是完全平方式. 4.下面对于二次三项式-x+4x-5的值的判断正确的是（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0

5.（2009,潍坊）关于x的方程(a?6)x?8x?6?0有实数根，则整数a的最大值是( ） A.6 B.7 C.8 D.9 6.（2011 ,佳木斯）若关于x的一元二次方程nx2?2x?1?0无实数根，则一次函数

y?(n?1)x?n的图像不经过（ ）象限。

A.一 B.二 C.三 D.四

7.（2012, 荆门）关于x的方程ax?(a?2)x?2?0只有一解（相同的解算一解），则 a的值为（ ）

A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2

28.（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数y?(5?m)x和

2

2222关于x的一元二次方程(m?1)x?mx?1?0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________． 9（2016江苏省扬州市）已知M=系为（ ）

A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定

222210．（2016河北省）a，b，c为常数，且(a?c)?a?c，则关于x的方程ax?bx?c?0227，则M、N的大小关a?1，N=a2?a（a为任意实数）

99根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0

四．一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

bc2x、xx?x??x?x?2是一元二次方程ax＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则1212设1a a，

2．设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，

b?x?x???02??1a则：(1)x1?0,x2?0时，有?

?x?x?c?012?a?b?x?x???02??1a (2)x1?0,x2?0时，有??x?x?c?012?a?cx?x??0 (3)x1?0,x2?02时，有1a2xx、x123.以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：?(x1?x2)x?x1x2?0

例.1.设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x2x1(2)?3443(1) x1x2+x1x2； x1x2

2.(2013·湖北荆门)设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x13＋2014x2

－2013＝ ．

练习：

1. 已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；

11x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。 ? ；x1x22. 关于x的方程2x+(m–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.

3.方程2x2?3x?m?0的一个根为另一个根的2倍，则m= .

2

2

4（2016四川省达州市）设m，n分别为一元二次方程x2?2x?2018?0的两个实数根，则

m2?3m?n= ．

5（2016江苏省南通市）设一元二次方程x2?3x?1?0的两根分别是x1，x2，则

x1?x2(x22?3x2)= ．

6（2016湖北省黄石市）关于x的一元二次方程x2?2x?2m?1?0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．

7.一元二次方程x2?5x?c?0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个） ．

8.（2015日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2?m?3，n2?n?3，那么代数式2n2?mn?2m?2015= ．

9.（2015十堰）已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2=31+x1x2，求实数m的值．

10、（2009 淄博）已知设x1,x2是关于x的方程x2?2x?a?0的两个实数根，且

32（1）求x1，x2及a的值；（2）求x1?3x1?2x1?x2的值。 x1?2x2?3?2 ，

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11.（2009 茂名）设x1,x2是关于x的方程x2?4x?k?1?0的两个实数根，那么是否存在实数k，使得x1?x2?x1?x2成立？请说明理由。