2014年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1．若集合A??0,1,2,4?,B??1,2,3?，则A∩B=（ ）
A．?0,1,2,3,4?
B．?0,4?
C．?1,2?
D．?3?
2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A.y?e?x
B.y?x
C.y?lnx
D.y?x
3．已知向量a??2,4?,b???1,1?，则2a?b=（ ）
A．?5,7?
B．?5,9?
C．?3,7?
D．?3,9?
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．15
5．设a,b实数，则“a?b”是“a2?b2”的（ ）
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数f(x)?
A．(0,1)
6?log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（ ） xB．(1,2)
22C．(2,4) D．(4,??)
7．已知圆C:?x?3???y?4??1和两点A??m,0?,B?m,0??m?0?，若圆C上存
在点P，使得?APB?90?，则m的最大值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，
在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系
p?at2?bt?c（a,b,c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函
数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若?x?i?i??1?2i?x?R?，则x= 10．设双曲线C的两个焦点为?2,0,为 ．
11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ．
．
???2,0，一个顶点是?1,0?，则C的方程
?
112．在ABC中，a?1,b?2,cosC?，则C= ；sinA= 4 ．
?y?1?13．若x,y满足?x?y?1?0，则z?3x?y的最小值为 ．
?x?y?1?0?14．顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序 时间 原料 原料A 9 原料B 6 则最短交货期为
粗加工 精加工 15 21 个工作日．
三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．已知?an?是等差数列，满足 a1?3,a4?12，等比数列?bn?满足b1?4,b4?20． （1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）求数列?bn?的前n项和．
???16．函数f?x??3sin?2x??的部分图象如图所示．
6??（Ⅰ）写出f?x?的最小正周期及图中x0,y0的值；
????（Ⅱ）求f?x? 在区间??,??上的最大值和最小值．
?212?
17．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
AB?BC,AA1?AC?2,BC?1,E,F分别是A1C1,BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE?B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE； （Ⅲ）求三棱锥E?ABC的体积．
18．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时
间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
排号 分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10） 频数 6 8 17 22 25 [10，12） 12 [12，14） 6 [14，16） 2 [16，18） 2 100 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a,b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的
100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
19．已知椭圆C:x2?2y2?4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y?2上，点B在椭圆C上，且OA?OB，求线段AB长度的最小值． 20．已知函数f(x)?2x3?3x．
（Ⅰ）求f?x?在区间??2,1?上的最大值；
（Ⅱ）若过点P?1,t?存在3条直线与曲线y?f(x)相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A??1,2?,B?2,10?,C?0,2?分别存在几条直线与曲线y?f?x?相切（只需写出结论）
北京市高考数学试卷(文科)
