考研线性代数知识点全面总结
《线性代数》复习提纲
第一章、行列式
1．行列式的定义：用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n?3）行列式的计算：降阶法
定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
?行列式值为
0的几种情况：
Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；
Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；
Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式Mij、代数余子式Aij?(?1)i?jMij
定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
（-1）aq1aq2?aqn，t为q1q2?qn的逆序数 n阶行列式也可定义：D??12nt4.行列式性质：
1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.
5.克拉默法则： ：若线性方程组的系数行列式D?0，则方程有且仅有唯一解x1?DD1D,x2?2，?，xn?n。 DDD：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式D?0，则其没有非零解。 ：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。
r1r1r2rnabab6.
??r
r?r1rn ，
rnr2???1?n(n?1)2?r
r?r1rn1x12?(ad?bc)n, x11x22x21x32x31xn2xn?n?i?j?1
ccdd?(xi?xj)，（两式要会计算）
x1n?1n?1x2n?1x3n?1xn范德蒙德行列
题型：Page21（例13）
第二章、矩阵
1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算
（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论：
①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=kn*|A|。只有方阵才有幂运算。 （3）转置：（kA）T=kAT， ?AB?T?BＴAＴ
（4）方阵的行列式：AT?A，kA?knA，AB?AB
－１（5）伴随矩阵：AA*?A*A?AE，A*?，A*的行元素是A的列元素的代数余子式 （AE）Ａ（6）共轭矩阵：Ａ＝（aij），A+B=A+B，kA?kA，AB?AB
?A11?B11?（7）矩阵分块法：A?B????A?Bs1?s1??T?A11A1r?B1r??ATs1????T??? ?，A????AT?AT?Asr?Bsr??sr??1r3．对称阵：方阵AT?A。 对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。 3．矩阵的秩
（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：
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