高一数学必修1第一章 集合 总复习
一、集合及其基本概念
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合。集合常用大写字母A,B,C,D,…标记。集合中的每个对象叫作这个集合的元素。 集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。
注意：集合｛0｝与空集?的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。 2、元素与集合的关系
一个集合A与一个对象a，要么a是A中的元素，记作a?A（读作a属于A）； 要么a不是A中的元素，记作a?A（读作a不属于A）。这个性质即为集合中元素的确定性。
在元素与集合之间，只能用?或?表示，它们之间只存在这两种关系。 3、集合的表示方法
我们用列举法与描述法表示一个集合。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。
描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作
?x|x具有某种特性?。
我们应熟练记住一些常用的数学符号：
自然数集可以用N表示；正整数集可以用N表示；整数集可以用Z表示；有理数集可以用Q表示；实数集可以用R表示。 二、集合与集合的关系 1、子集
对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。
2、真子集
对于两个集合A和B，如果集合A?B，并且B中至少有一个元素不属于A，那
?么集合A叫做集合B的真子集，记作A?B。
nn含有n(n?N*)个元素的有限集合的子集个数为2个，真子集个数为2?1个，非nn空子集个数为2?1个，非空真子集个数为2?2个。
+3、相等的集合
对于两个集合A和B，若A?B且B?A则称集合A与集合B相等，记作A?B。也就是说，集合A和集合B含有完全相同的元素。
由定义可知，要证集合A与B相等，只需证明A?B且B?A。 三、集合的运算
集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。 1、交集
(1)定义 由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记
AIB??x|x?A且x?B?作“AIB”。即。 (2)交集的性质
①AIB?BIA；②AIA?A；③AI???；
④AIB?A,AIB?B；⑤若AIB?A，则A?B；反之亦然。 2、并集
（1）定义 由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与
AUB??x|x?A或x?B?B的并集，记作“AUB”。即。 （2）并集的性质
①AUB?BUA；②AUA?A；③AU??A；
④A?AUB,B?AUB；⑤若AUB?B，则A?B；反之亦然。 2、并集
（1）定义 由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与
AUB??x|x?A或x?B?B的并集，记作“AUB”。即。 （2）并集的性质
①AUB?BUA；②AUA?A；③AU??A；
④A?AUB,B?AUB；⑤若AUB?B，则A?B；反之亦然。
高一数学必修1 第二章 函数
1、函数的定义
（1） 古典定义：如果在某个变化过程中有两个变量x，y，对于x在某个范围D
内的每一个确定的值按照某种对应法则f，y都有唯一的值与它对应，那么y就是x的函数，记作
y?f?x?，x叫做自变量，x的取值范围D叫做
函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
（2） 现代定义：非空数集A到非空数集B的一个映射f：A?B（即A中每一
个元素在B中都有唯一的元素和它对应）叫做A到B的函数，记作
y?f?x?，其中x?A，y?B，原象集A叫做函数的定义域，象集C叫做
函数的值域．（一般有C?B） 注意点：
① 函数定义中要求对定义域中的任何一个x，在值域中有且只有一个y值和
它对应；但并不要求对于值域中的每一个y也只能有一个x和它相对应，即函数的对应法则可以是1对1，也可以多对1，但不可以1对多（即定义域中一个x对应值域中一个以上的y）．
② 定义域与值域都必须是非空数集．
③ 定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法（注意区间端点必须是
实数） ④ 函数的表示法有：1?解析法；2?图像法；3?列表法．
其中，列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观。但是，它只能表示有限个元素间的函数关系。图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势。解析法将函数的对应关系用自变量的解析表达式表示出来，是表示函数的一种主要方法，当函数解析式是用两个或两个以上的数学式子给出时，就成为分段函数，分段函数的定义域为它在各段上定义域的并集．
2、函数的三要素
函数的三要素为：定义域、值域、对应法则．其中对应法则是核心． 注意点：两函数相同的充要条件是函数的三要素相同，但因为当函数的定义域和对应法则一旦确定，函数值域也就随之确定，因此判断两函数相同，则只需看定义域和对应法则是否一致．（值域对应法则相同，不一定有定义域相同）
3.映射：
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应
f:A?B为从集合A到集合B的一个映射.
如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合
B中元素y的原象,集合B中元素y叫合A中的元素x的象. 映射概念的理解
(1)映射f:A?B包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:
(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;
(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;
(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射f:A?B 函数y?f(x),x?A,y?B 集合A,B可为任何集合,其元素可函数的定义域和值域均为非空的数以是物,人,数等 集 对于集合A中任一元素a,在集合B对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的像 中都有唯一确定的值与之对应 对集合B中任一元素b,在集合A中对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 不一定有原像 注：函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f：A→B。这里A，B为非空的数集。
（2）A：定义域，原象的集合；{f(x)|x∈A}：值域，象的集合，其中{f(x)|x∈A}?B；f：对应法则，x∈A，y∈B
（3）函数符号：y=f(x)，y是x的函数，简记f(x) 4、函数的定义域和值域：
（1）一次函数f(x)=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R
k（2）反比例函数f(x)=x(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y | y≠0}
（3）二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，
4ac?b24ac?b24a4a｛y|y≥｝；当a＜0时，｛y|y≤｝。
5、函数的值：关于函数值f(a) 例析：若f(x)=x2＋3x＋1，求f(2)。 解：f(2)=22＋3×2＋1=11
〖注意〗（1）在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样； （2）f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”； （3）f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数，f(a)是f(x)的一个特殊值。
6、区间的概念
设a、b是两个实数，而且a＜b，我们规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）； （3）满足不等式a≤x＜b或者a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)、(a,b]；
（4）实数集R可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x≥a，x＞a，
x≤b，x＜b的实数x的集合可以分别表示为[a,＋∞)，（a,＋∞），（－∞,b]，
（－∞,b）。
〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实
高一数学第一章集合总复习第二章部分知识讲解
