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第七节 抛物线
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是( )
A．y＝3x2或y＝－3x2 C．y2＝－9x或y＝3x2
B．y＝3x2
D．y＝－3x2或y2＝9x
解析 设抛物线方程为x2＝ay或y2＝ax(a≠0)，把圆心(1，－3)1
代入方程得a＝－3或a＝9，∴抛物线方程是y＝－3x2或y2＝9x.
答案 D
2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．22 C．4
B．23 D．25
解析 由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， p2
则2＋2＝3，∴p＝2.∴y2＝4x，∴y0＝4×2＝8. ∴|OM|＝22＋y20＝4＋8＝23. 答案 B
3．(2014·泸州诊断)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
4A.3 8C.5
7B.5 D．3
解析 设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切的直线为4x
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＋3y＋t＝0，与抛物线y＝－x2联立得3x2－4x－t＝0，由Δ＝16＋12t4
＝0，得t＝－3，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线4
的距离公式得所求距离为3.
答案 A
x2y2
4．已知双曲线C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
83
A．x＝3y
2
163
B．x＝3y
2
C．x2＝8y
D．x2＝16y
x2y2c
解析 ∵双曲线C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴a＝a2＋b2
a＝2，∴b＝3a.
∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
p
∴抛物线C2：x＝2py(p>0)的焦点(0，2)到双曲线的渐近线的距
2
p
|3×0±2|离为＝2，∴p＝8. 2
∴所求的抛物线方程为x2＝16y. 答案 D
x2y2
5．(2013·天津卷)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )
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A．1 C．2
c
解析 由双曲线的离心率e＝a＝
3B.2 D．3
b2b
1＋a2＝2可得a＝3，所以
pp
双曲线的渐近线方程为y＝±3x，与抛物线x＝－2的交点坐标A(－2，3p31p
2p)，B(－2，－2p)，所以△AOB的面积为2×2×3p＝3，可得p＝2.
答案 C
6．(2013·全国大纲卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过→→C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA·MB＝0，则k＝( )
1
A.2 C.2
2B.2 D．2
1
解析 由题意知k≠0，设直线AB方程为x＝ky＋2，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与抛物线方程联立得ky2－8y－16k→→8
＝0，y1＋y2＝k，y1y2＝－16，MA·MB＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－
22
y1y28
2)＝(8＋2)(8＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，整理并结合y1＋y2＝k，y1y2
＝－16得k2－4k＋4＝0，解得k＝2，故选D.
答案 D
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为
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【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：8-7抛物线
