椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条

椭圆与双曲线的对偶性质92条

椭 圆

1．|PF1|?|PF2|?2a

x2y22．标准方程：2?2?1

ab|PF1|?e?1 3．d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

x2y29．椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆

abx2y2于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.

abx2y2xxyy10．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababx2y211．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy弦P1P2的直线方程是02?02?1.

abx2y212．AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则

abb2kOM?kAB??2.

ax2y213．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

abx0xy0yx02y02?2?2?2. a2babx2y2x2y2x0xy0y14．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.

abababx2y215．若PQ是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则

ab1111???(r1?|OP|,r2?|OQ|). r12r22a2b2x2y216．若椭圆2?2?1（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax?By?1(AB?0),

ab2a4A2?b4B21122则(1)2?2?A?B;(2)L?. 2222aA?bBaba2?b22ab)17．给定椭圆C1：bx?ay?ab（a＞b＞0）, C2：bx?ay?(2,则(i)

a?b2对C1上任意给定的点P0(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点

2222222222a2?b2a2?b2x0,?22y0). M((2a?b2a?b''''(ii)对C2上任一点P0(x0,y0)在C1上存在唯一的点M',使得M'的任一直角弦都经过P0点. x2y218．设P0(x0,y0)为椭圆（或圆）C:2?2?1 (a＞0,.b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,

ab且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,?my0)(m?1)的充要条件是1?mb2k1?k2???2.

1?max2y219．过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆

abb2x0于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?2（常数）.

ay0x2y220．椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，

ab则椭圆的焦点角形的面积为

2a2?22?bc?btan,tan) . S?F1PF2?btan，P(c2c22x2y221．若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,

aba?c???PF2F1??，则?tancot.

a?c22x2y222．椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).

2?x2y223．若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

ab0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y224．P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

x2y225．椭圆2?2?1（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：y?k(x?x0)对称的充要条件是

ab(a2?b2)22x0?2.

a?b2k226．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

?x?acos?28．P是椭圆?（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是

y?bsin??1e2?. 21?sin?x2y2x2y229．设A,B为椭圆2?2?k(k?0,k?1)上两点，其直线AB与椭圆2?2?1相交于

ababP,Q,则AP?BQ.

x2y21?(2?2)x2y22ab30．在椭圆2?2?1中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为m?,2cos?sin2?ab?2a2bb2x2其中tan???22,当y?0时,??90.

ayx2y231．设S为椭圆2?2?1（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，

aba2l222c(c?a?b,e?);当?记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l??S时，有(x0)max?c2eaa4b2?l2,(x0)min?0. l??S时，有(x0)max?2bx2y22222232．椭圆2?2?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.

ab(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是33．椭圆

a2b2A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.

x2y234．设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意

absin?c??e. 一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin??sin?a22222235．经过椭圆bx?ay?ab（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任

2一点的切线相交于P1和P2，则|PA1|?|PA2|?b.

x2y236．已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.

ab4a2b2111122??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为2（1）;（3）S?OPQ的最小值是222a?b|OP||OQ|aba2b2.

a2?b237．MN是经过椭圆bx?ay?ab（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|?2a|MN|.

38．MN是经过椭圆bx?ay?ab（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦

2222222222222