第三章 微分中值定理与导数的应用
第三讲 微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式习题课
教学目的 通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识．
教学重点 对知识的归纳总结． 教学难点 典型题的剖析． 教学过程
一、知识要点回顾
1．费马引理．
2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．
3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB．
4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立． 如，函数
2xf?x??,0?x?1,0 , x?1 ??
在?0,1?上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数
2f?x??1?x,?1?x?1,1, x?1 ?
在??1,1?上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的．
5．泰勒中值定理和麦克劳林公式．
x6．常用函数e、sinx、cosx、ln(1?x)、(1?x)的麦克劳林公式．
?7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系．
0?0?08．0、?、0??、???、0、1、?型未定式．
9．洛必达法则．
0?0?010．0??、0、1、?型未定式向0或?型未定式的转化．
二、练习
1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？
由于f?x?、F?x?在?a,b?上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点???a,b?，使得
f?b??f?a??f'????b?a?,
?1?
F?b??F?a??F?????b?a?.
?2?
又对任一
x??a,b?,F?(x)?0，所以上述两式相除即得
f?b??f?a?f?????F?b??F?a?F????.
答 上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数f?x?和F?x?，拉格朗日中值定理公式中的?未必相同．也就是说在?a,b?内不一定存在同一个?，使得?1?式和?2?式同时成立．
2??fx?x例如，对于，在?0,1?上使拉格朗日中值定理成立的
??
1
32；对F?x??x，
在?0,1?上使拉格朗日中值定理成立的
??33，两者不等．
22. 设函数y?f?x?在区间?0,1?上存在二阶导数，且f?0??f?1??0,F?x??xf?x?.试证明在?0,1?内至少存在一点?，使F?????0．还至少存在一点?,使F??(?)?0
分析 单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，
F?0??F?1??0，且F?x?在?0,1?上满足罗尔定理的前两个条件，故在?0,1?内至少存在一
点?，使F?????0．至于后一问，首先得求出F??x?，然后再考虑问题．
F??x??2xf?x??x2f??x?，且F??0??0．这样根据题设，我们只要在?0,??上对函数
F??x?再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论．
证 由于y?f(x)在?0,1?上存在二阶导数，且F?0??F?1?，F?x?在?0,1?上满足罗尔
定理的条件，故在?0,1?内至少存在一点?，使F由于
?????0．
2?????Fx?2xfx?xf??x?，
??且F?0??0，F?x?在?0,??上满足罗尔定理的条件，故在 ?0,??内至少存在一点?，使
F??????0．由于?0,????0,1?，所以???0,1?．
an1n?1a?a?L??1?0??12a,a,L,an为满足方程32n?13.设12的实数，试证明方程
a1cosx?a2cos3x?L?ancos?2n?1?x?0????0,?在?2?内至少有一个实根．
分析 证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数
f?x??a1cosx?a2cos3x?...?ancos?2n?1?x，
??????
??f0?f0,???0???2?需要满足在?2?上连续，且．但
???f???0?2?，因此这种方法并不能直接
应用．换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设
F??x??a1cosx?a2cos3x?L?ancos?2n?1?x，
?并将F?x?的原函数F?x?求出来，然后对原函数F?x?应用罗尔定理．
?在这个问题中F?x?的原函数求起来很容易，
F?x??a1sinx?ana2sin3x?L?sin?2n?1?x3?2n?1?．
???0,??????FxFx求出后，根据题设条件，对在?2?上应用罗尔定理即可得到所要的结论．
证 引入辅助函数
F?x??a1sinx?ana2sin3x?L?sin?2n?1?x3?2n?1?．
因为F?x???????0,?0,???2?上连续，在?2?内可导，F?0??0，在?an1n?1??????F???a1?a2?L???1??0?0,?232n?1??，所以由罗尔定理知，在?2?内至少存在一
微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式习题课
