2012年考研数学三真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1) 曲线??=
??2+????2?1
渐近线的条数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。 【解析】 由????????=??????
??→+∞
??2+??
??→+∞??2?1
=1=????????=??????
??→?∞
??2+??
??→?∞??2?1
,
得??=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由????????=??????
??→1??→?1
??2+????→1??2?1
??2+??
=∞得??=1是曲线的一条垂直渐近线； =得??=?1不是曲线的渐近线；
21
由????????=??????
??→?1??2?1
综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2) 设函数??(??)=(?????1)(??2???2)?(?????????),其中??为正整数，则??′(0)= (A)(?1)???1(???1)! (B) (?1)??(???1)! (C)(?1)???1(??)! (D) (?1)??(??)! 【答案】A 【解析】 【方法1】
1 / 19
令g(??)=(??2???2)?(?????????),则
??(??)=(?????1)g(??) ??′(??)=????g(??)+(?????1)g′(??)
??′(0)=g(0)=(?1)(?2)?(?(???1)) =(?1)???1(???1)! 故应选A. 【方法2】
由于??(0)=0,由导数定义知 ??0)=??????
′(
??(??)??→0????→0
(?????1)??→0
??
=??????
(?????1)(??2???2)?(?????????)
??
=??????
???????(??2???2)?(?????????)
??→0
=(?1)(?2)?(?(???1))=(?1)???1(???1)!. 【方法3】
排除法，令??=2,则 ??(??)=(?????1)(??2???2)
??′(??)=????(??2???2)+2??2??(?????1) ??′(0)=1?2=?1 则(B)(C)(D)均不正确
综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
2
(3) 设函数??(??)连续，则二次积分∫??????(??)??????= ∫02????????
√4???22
(A)∫????∫√??2√2?????20
??
2
2
+??2??(??2+??2)???? +??2)????
2 / 19
√4???222
(B) ∫??????(??∫2√2?????0
√4???222(C) ∫????√??∫201+√1???+??2??(??2+??2)???? +??2)????
√4???222
(D) ∫??????(??∫01+√1???2【答案】B。 【解析】
令??=???????? ??,??=???????? ??,则??=2所对应的直角坐标方程为??2+??2=4,??=2?????? ??所对应的直角坐标方程为(???1)2+??2=1。
2由∫??????(??)??????的积分区域 ∫02????????
??
22
??
2????????
√2?????2
22
所以∫??????(??)??????∫02????????
??
2=
√4???222??????(??∫∫2√2?????0
+??2)????
综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (4)
1(?1)??∞∞??
已知级数∑??=1(?1)√??????????绝对收敛，级数∑??=12???条件收????
敛，则
(A)0
2
2
1
1
(C)1
2
2
33
【答案】D。 【解析】
??
由级数∑∞??=1(?1)√????????
1????绝对收敛，且当??→∞时
12
32
|(?1)??√????????
1??
|~??
??
>1,即α> 1，故α?α?
21
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2012年考研数学三真题及答案
