圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第9章方差分析9.1复习笔记本章重点????方差分析的一般原理完全随机设计方差分析方法随机区组设计方差分析方法事后检验。方差分析又称作变异分析（analysisofvariance，ANOVA），它是斯内德克（GeorgewaddelSnedecor，1881～1974）为了探讨一个因变量与一个或多个自变量之间的关系，1946年根据费舍的早期工作发明的一种检验方法。其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响。一、方差分析的基本原理及步骤（一）方差分析的基本原理：综合的F检验1．综合虚无假设与部分虚无假设方差分析主要处理多于两个以上的平均数之间的差异检验问题。此时，该实验研究就是一个多组设计，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。为此，设定虚无假设为：样本所归属的所有总体的平均数都相等。一般把这一假设称为“综合的虚无假设”（omnibusnullhypothesis）。组间的虚无假设相应地就称为“部分虚无假设”。譬如某个实验设计中有三个实验组，综合虚无假设就可表述为：H0：?1??2??3。综合虚1/103圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台无假设和部分虚无假设差异很大。检验综合虚无假设是方差分析的主要任务，如果综合虚无假设被拒绝，紧接着要确定究竟哪两个组之间的平均数之间存在着显著性差异时，需要运用事后检验方法来确定。2．方差的可分解性（1）方差分析依据的基本原理就是方差（或变异）的可加性原则。确切地说，应该是方差的可分解性。作为一种统计方法，方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。不同来源的变异只有当它们可加时，才能保证总变异分解的可能。具体地讲，就是将总平方和分解为几个不同来源的平方和。（2）平方和指观测数据与平均数离差的平方总和。就一般情况而言，任意一个数据（第j组的第i个数据）与总平均值Xt的离差（差（XijXij?Xt），等于Xt与该组平均数的离Xij?Xj）加上该组平均数与总平均数的差（Xj?Xt）。即Xij?Xt?(Xij?Xj)?(Xj?Xt)
把第j组的n个数据的平方和相加，即把这上面这个等式两边平方之后连加：?(X
i?1nij?-Xt)2????(Xij-Xj)?(Xj-Xt)?
i?1n2再利用平均数离差平方和等于零这一特性，简化得到下式：22
(X-X)?(X-X)?n(X?X)t?ijt?ijjj
2
i?1
i?1
n
n
然后将K组的这种关系全加起来：??(X
j?1
i?1
ni?1
kn
ij
?Xt)??2
j?1
k
?(X
i?1
n
ij
?Xj)?n??(Xj?Xt)2
2
j?1
k
（公式9.1）式中?表示各组的数据从1加到n的和，?
j?1k表示从第1组加到第K组之和。2/103圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台令SST???(Xij?Xt)2
j?1i?1
k
kn
（公式9.2）SSB?n??(Xj?Xt)2
j?1n
（公式9.3）SSW???(Xij?Xj)2
j?1i?1
k
（公式9.4）则SST?SSB?SSW
（公式9.5）在上面的公式中，X的下标j表示第几组，i表示某一组中第几个被试，∑的起止标记意思与此相同，本章后面均予以省略。n表示每组的人数，k表示有几种实验处理。其中SS称为和方，表示平方和（sumofsquare）；SST为总平方和（thesumofsquarestotal），表示实验中产生的总变异；SSB为组间平方和（sumofsquaresbetweengroups），表示由于不同的实验处理而造成的变异；SSW为组内平方和（sumofsquareswithingroup），表示由实验误差（包括个体差异）造成的变异。下标T表示全部（total），B代表组间（betweengroups），W代表组内（withingroup）。（3）总变异就被分解为组间变异和组内变异两部分。总变异的计算是把所有被试的数值作为一个整体考虑时得到的结果，是用所有被试的因变量的值计算得到的。在计算时，它不区分各个数值究竟来自于哪一种实验条件。组间变异主要指由于接受不同的实验处理而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差表示。两组平均数的差异越大，组间变异也就越大。组间变异可以看作是组间平均数差异大小的一个指标。组内变异则是区组内各被试因变量的差异范围决定的，主要指由实验误差或组内被试之间的差异造成的变异。由于被试分组是随机分派，个体差异及实验误差带有随机性质，因而组内变异与组间变异相互独3/103圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台立，可以分解。（4）在方差分析中，如果实验中各个组内部被试之间存在着不同程度的差异，即接受同样处理的被试在因变量上有量的差别，那么组内平方和就会比较大。如果各独立组每组的方差很大，组内平方和也会很大，组内平方和越大，表明实验误差越大。一般情况，组内平方和不会为0。因为，所有被试不可能在实验前都是相同的，而实验者也不可能绝对同等地处理它们。相反，如果组间平方和越大，组内平方和就会越小，各组平均数之间有显著差异的可能性也越大。样本平均数之间的变异和样本内部的变异相差越大，就说明总体处理中平均数之间的差别也越大。这样，从统计角度考虑，缩减样本内部的变异，使样本平均数真正的变异就能显示出来。这是所有实验研究在设计时的一个关键。（5）平方和除以自由度所得的样本方差可作为其总体方差的无偏估计。那么，方差分析中组间方差和组内方差就分别表示为：MSB?SSBdfB（公式9.6）SSW
MSW?
dfW
（公式9.7）MSB表示组间方差，一般称作组间均方（meansquaresbetweengroups），有的书中把它用MST表示，指实验处理（treat）的均方，也就是组间均方；dfB为组间自由度；MSW表示组内方差或称组内均方（meansquareswithingroup），有的书中把它用MSE表示，指误差的均方即组内均方；dfW为组内自由度。在方差分析中，组间变异与组内变异的比较必须用各自的均方，不能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与项数（即k或n）有关，应该将项数的影响去掉求其均方，因此必须除以各自的自由度。组间自由度dfB?k?14/103圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台组内自由度dfW?k?n?1?总自由度dfT?nk?1dfT?dfB?dfW
（公式9.8）检验两个方差之间的差异用F检验，因此比较MSB与MSW也要用F检验。在讨论方差齐性检验时，指出利用F检验比较两个样本方差的差异要用双侧检验。在方差分析中关心的是组间均方是否显著大于组内均方，如果组间均方小于组内均方，就无需检验其是否小到显著性水平。因而总是将组间均方放在分子位置，进行单侧检验，即F?
MSBMSW
（公式9.9）F为组间变异与组内变异比较得出的一个比率数，如果F?1，说明数据的总变异中由分组不同所造成的变异只占很小的比例，大部分由实验误差和个体差异所致，也就是说不同的实验处理之间差异不大，或者说实验处理基本上无效；如果F?1，同样说明实验处理之间的差异不够大；当F?1而且落入F分布的临界区域，表明数据的总变异基本上由不同的实验处理所造成，或者说不同的实验处理之间存在着显著差异。（二）方差分析的基本过程与步骤在实际应用方差分析时，为了方便，一般直接从原始数据求平方和，这时平方和的公式为：SST???X?
2(??X)2nk（公式9.10）SSB??
?X
n2
?
(??X)2
nk（公式9.11）SSW?SST?SSB???X??
2(?X)2n（公式9.12）方差分析的基本步骤如下：5/103
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